2019-天津卷理-02 单-线性规划

本题导读

本题考查简单线性规划，以及目标函数的几何意义。

📌【题干】

Question

（2019年天津卷理）设变量 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x+y-2\le 0\\ x-y+2\ge 0\\ x\ge -1\\ y\ge -1\end{array}$，则目标函数 $z=-4x+y$ 的最大值为()

A. 2　　　　　　　B. 3　　　　　　　C. 5　　　　　　　D. 6

🔍【思路分析】

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1. 画出可行域：在直角坐标系中画出四个不等式确定的半平面交集，得到一个封闭的凸多边形区域。
2. 分析目标函数：将 $z=-4x+y$ 变形为 $y=4x+z$。此时 $z$ 对应直线在 $y$ 轴上的截距。
3. 寻找最优解：平移直线 $y=4x$，观察直线在往哪一侧平移时 $z$ 变大。斜率为正且截距 $z$ 越大，直线越往左上方移动。
4. 确定顶点：观察可行域的几何位置，确定使截距最大的顶点坐标。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C

【解析过程】

1. 绘制可行域： 由约束条件可知可行域是由以下直线围成的区域：

• $l_1:x+y=2$（取左下方）

• $l_2:x-y=-2$（取右下方）

• $l_3:x=-1$（取右侧）

• $l_4:y=-1$（取上方）

2. 确定顶点坐标： 目标函数 $y=4x+z$ 的斜率为 4。由于 $z$ 是截距，我们要找可行域中“最偏左上方”的点。 观察图形，最大值可能在直线 $x=-1$ 与 $x-y+2=0$ 的交点处取得。 解方程组：$\{\begin{array}{l}x=-1\\ x-y+2=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=1\end{array}$ 记该顶点为 $A(-1,1)$。

3. 计算最值： 将 $A(-1,1)$ 代入目标函数： $z=-4\times (-1)+1=4+1=5$。 对比其他顶点：

• 若取 $(1,1)$，$z=-4(1)+1=-3$；
• 若取 $(3,-1)$（超界），实际可行域顶点还包括 $(-1,-1)$ 等。 明显 $A(-1,1)$ 处 $z$ 最大。


故选C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 口诀：一画、二移、三求：

• 画：准确画出边界线（注意实虚线）。
• 移：根据目标函数斜率平移基准直线。
• 求：求出交点坐标并代入计算。

2. 截距正负需细心：若目标函数为 $z=ax+by$ 型：

• 当 $b>0$ 时，$z$ 随截距增大而增大；
• 当 $b<0$ 时，$z$ 随截距增大而减小。

3. 常见错误：

• 不等式方向画错导致可行域找偏。
• 忽略了 $x,y$ 的常数取值限制（如 $x\ge -1$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以记录下目标函数的其他几何意义：

• 距离型：$z=x^2+y^2$ 表示点到原点距离的平方。
• 斜率型：$z=\frac{y-b}{x-a}$ 表示点 $(x,y)$ 与定点 $(a,b)$ 连线的斜率。
• 绝对值型：$z=|x|+|y|$，通过分类讨论转化为线性段。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2012-辽宁理-08
• 2015-新课标I卷理-15 填-线性规划
• 2006-全国卷I理-14 填-目标函数的最值求解