2019-天津卷理-03 单-充分必要条件

本题导读

本题考查充分条件与必要条件的判定，以及一元二次不等式的解法。

📌【题干】

Question

（2019年天津卷理）设 $x\in \mathbb{R}$，则“$x^2-5x<0$”是“$|x-1|<1$”的()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化简条件 $p$：解一元二次不等式 $x^2-5x<0$，确定其解集 $A$。
2. 化简条件 $q$：解绝对值不等式 $|x-1|<1$，确定其解集 $B$。
3. 判断包含关系：

• 若 $B\subseteq A$ 且 $A⊈B$，则 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件（$q⟹p$ 成立，$p⟹q$ 不成立）。
• 若 $A\subseteq B$ 且 $B⊈A$，则 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B

【解析过程】

1. 求解 $x^2-5x<0$： 提取公因式得 $x(x-5)<0$。 根据“小于取中间”原则，解得 $0<x<5$。 记该集合为 $A=\{x|0<x<5\}$。

2. 求解 $|x-1|<1$： 去掉绝对值符号得 $-1<x-1<1$。 各部分同时加 1，得 $0<x<2$。 记该集合为 $B=\{x|0<x<2\}$。

3. 判断包含关系： 显而然，$B$ 是 $A$ 的真子集（$B⊊A$）。

• 因为 $B\subseteq A$，所以由 $|x-1|<1$ 可以推出 $x^2-5x<0$。
• 因为 $A⊈B$（例如取 $x=3$，满足 $p$ 但不满足 $q$），所以由 $x^2-5x<0$ 不能推出 $|x-1|<1$。 综上，“$x^2-5x<0$”是“$|x-1|<1$”的必要不充分条件。

故选B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 逻辑与集合的对应关系：

• $p⟹q⟺P\subseteq Q$（$p$ 是充分条件）。
• $q⟹p⟺Q\subseteq P$（$p$ 是必要条件）。 记忆技巧：小集合推大集合。

2. 易错点：

• 范围算反：在解绝对值不等式时出错。
• 主客体混淆：题目问的是“$p$ 是 $q$ 的什么条件”，一定要以 $p$ 为主体去判断。

3. 判定流程：

• 先化简，再对比，最后下结论。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累以下判定经验：

• 范围越大，条件越必要。
• 范围越小，条件越充分。
• 若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，则 $\neg p$ 是 $\neg q$ 的必要不充分条件（逆否命题等价性）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2018-天津卷文-03 单-充分必要条件
• 1989-全国卷理-14 填-绝对值不等式
• 1990-上海卷-25 解-含参不等式的求解