2019-江苏卷-11 填-导数几何意义

本题导读

本题考查导数的几何意义，以及切线方程的求法。

📌【题干】

Question

（2019年江苏卷）在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $A$ 在曲线 $y=\ln x$ 上，且该曲线在点 $A$ 处的切线经过点 $(-e,-1)$（$e$ 为自然对数的底数），则点 $A$ 的坐标是 $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设切点：设切点 $A(x_0,y_0)$，由于点 $A$ 在曲线上，则有 $y_0=\ln x_0$（其中 $x_0>0$）。
2. 求导定斜率：求出 $y=\ln x$ 的导函数 $y^{\prime }=\frac{1}{x}$，则切线斜率 $k=\frac{1}{x_0}$。
3. 构建切线方程：利用点斜式写出切线方程 $y-\ln x_0=\frac{1}{x_0}(x-x_0)$。
4. 利用过点条件：将点 $(-e,-1)$ 代入切线方程，建立关于 $x_0$ 的超越方程。
5. 求解与验证：解方程求出 $x_0$，并利用函数单调性确认根的唯一性。

✅【答案】

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$(e,1)$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $(e,1)$

【解析过程】 设点 $A$ 的坐标为 $(x_0,\ln x_0)$， 由 $y=\ln x$ 得 $y^{\prime }=\frac{1}{x}$， 所以曲线在点 $A$ 处的切线斜率 $k=\frac{1}{x_0}$。 切线方程为： $y-\ln x_0=\frac{1}{x_0}(x-x_0)$ 整理得：$y=\frac{x}{x_0}-1+\ln x_0$。 由于该切线经过点 $(-e,-1)$，代入坐标得： $-1=\frac{-e}{x_0}-1+\ln x_0$ $\ln x_0=\frac{e}{x_0}$ 即 $x_0\ln x_0=e$。 设函数 $H(x)=x\ln x$ ($x>0$)。 则 $H^{\prime }(x)=\ln x+1$。 当 $x\in (0,e^{-1})$ 时，$H^{\prime }(x)<0$，$H(x)$ 单调递减； 当 $x\in (e^{-1},+\infty )$ 时，$H^{\prime }(x)>0$，$H(x)$ 单调递增。 观察可知 $H(e)=e\ln e=e$， 且在 $(e^{-1},+\infty )$ 上 $H(x)$ 单调递增，故 $x_0=e$ 是方程唯一的实数根。 当 $x_0=e$ 时，$y_0=\ln e=1$。 所以点 $A$ 的坐标为 $(e,1)$。

故填：$(e,1)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. “点在曲线上”与“切线过点”：这是切线问题中最核心的逻辑区别。如果点在曲线上，该点即为切点；如果切线过曲线外一点，必须先设切点，再利用斜率和坐标关系建模。
2. 超越方程的解法：形如 $x\ln x=e$ 的方程通常无法通过初等代数变形直接求解，通常采用观察法（特值法）结合单调性分析来确定唯一的解。
3. 公式准确性：对数求导 $\frac{1}{x}$ 是基础，点斜式方程的化简过程需细心，避免 $x_0$ 符号出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以总结如下套路：

1. 设切点 $(x_0,f(x_0))$：无论题目是否给出切点，都要以此为基准。
2. 写方程：$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$。
3. 代入已知点：将题目中切线经过的定点坐标代入，解出 $x_0$。 注意：若直线与曲线相切，并不意味着它们只有一个公共点，例如三次曲线的切线可能在远处与曲线再次相交。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2008-新课标卷文-21 解-导数切线定值
• 2009-福建卷文-15 填-导数切线存在
• 2010-山东卷文-21 解-导数切线与单调性