2019-江苏卷-18 解-直线与圆

本题导读

本题考查直线与圆的位置关系。核心在于几何构造法（解法一）、坐标建模法（解法二）的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年江苏卷）如图，一个湖的边界是圆心为 $O$ 的圆，湖的一侧有一条直线型公路 $l$，湖上有桥 $AB$（$AB$ 是圆 $O$ 的直径）。规划在公路 $l$ 上选两个点 $P、Q$，并修建两段直线型道路 $PB、QA$。规划要求：线段 $PB、QA$ 上的所有点到点 $O$ 的距离均不小于圆 $O$ 的半径。已知点 $A、B$ 到直线 $l$ 的距离分别为 $AC$ 和 $BD$（$C、D$ 为垂足），测得 $AB=10，AC=6，BD=12$（单位：百米）。

(1)若道路 $PB$ 与桥 $AB$ 垂直，求道路 $PB$ 的长；

(2)在规划要求下，$P$ 和 $Q$ 中能否有一个点选在 $D$ 处？并说明理由；

(3)在规划要求下，若道路 $PB$ 和 $QA$ 的长度均为 $d$（单位：百米），求当 $d$ 最小时，$P、Q$ 两点间的距离。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解约束条件：线段上所有点到圆心 $O$ 距离 $\ge R$，意味着线段不能穿过圆内部。

• 对于点 $P$（连 $PB$）：由于 $B$ 在圆上，若 $\angle OBP<90^{\circ }$，则线段 $PB$ 必有一部分进入圆内；故必须满足 $\angle OBP\ge 90^{\circ }$。
• 对于点 $Q$（连 $QA$）：同理需满足 $\angle OAQ\ge 90^{\circ }$。

2. 建模选择：

• 几何法：过点 $A$ 作 $BD$ 垂线构造直角三角形，利用三角函数求解。
• 坐标法：以 $O$ 为原点建立系，写出直线 $l$ 和圆的方程，将距离转化为坐标运算。

3. 最值确定：$d$ 最小的临界状态通常是“垂直”状态，即 $PB\perp AB$ 或 $QA\perp AB$。

✅【答案】

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(1)$PB=15$ 百米。

(2)不能，理由见解析。

(3)$P,Q$ 两点间的距离为 $17+3\sqrt{21}$ 百米。

✍【详细解析】

Abstract

(1)解：

（采用坐标法）如图，过 $O$ 作 $OH\perp l$ 于 $H$。以 $O$ 为原点，$OH$ 所在直线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系。 已知 $AC=6,BD=12,AB=10$，则圆半径 $R=5$。 梯形 $ABDC$ 中，中位线 $OH=\frac{6+12}{2}=9$。故直线 $l$ 方程为 $y=9$。 $A,B$ 的纵坐标分别为 $9-6=3$ 和 $9-12=-3$。 代入圆方程 $x^2+y^2=25$ 得 $A(4,3),B(-4,-3)$。 直线 $AB$ 的斜率 $k_{AB}=\frac{3-(-3)}{4-(-4)}=\frac{3}{4}$。 若 $PB\perp AB$，则 $k_{PB}=-\frac{4}{3}$。 直线 $PB$ 方程：$y+3=-\frac{4}{3}(x+4)$。 令 $y=9$，解得 $x=-13$。即 $P(-13,9)$。 $PB=\sqrt{(-13+4{)}^2+(9+3{)}^2}=\sqrt{81+144}=15$。 故道路 $PB$ 的长为 $15$ 百米。

(2)解： $P,Q$ 均不能选在 $D$ 处。理由如下：

• 由(1)知 $D$ 坐标为 $(-4,9)$。连结 $BD$，其方程为 $x=-4$。线段 $BD$ 上存在点（如 $(-4,0)$）到原点距离为 $4<5$，在圆内。故 $P$ 不能选在 $D$。
• 连结 $AD$。$A(4,3),D(-4,9)$，线段 $AD$ 中点为 $(0,6)$，到原点距离为 $6>5$。但在 $A$ 附近考察，直线 $AD$ 的斜率为 $\frac{9-3}{-4-4}=-\frac{3}{4}$。
• 考察 $\angle OAD$：$\overrightarrow{AO}=(-4,-3),\overrightarrow{AD}=(-8,6)$。
• $\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{AD}=(-4)(-8)+(-3)(6)=32-18=14>0$。
• 这说明 $\angle OAD$ 为锐角，根据几何性质，从 $O$ 向直线 $AD$ 作垂线，垂足必落在线段 $AD$ 内部，该垂线段长度即为最小距离，必然小于半径 $R=5$。故 $Q$ 不能选在 $D$。

(3)解： 要使 $d$ 最小，且满足线段上的点到 $O$ 距离 $\ge 5$：

• 对于 $PB$：由(2)知需 $\angle OBP\ge 90^{\circ }$。当 $PB\perp AB$ 时，$d_1=15$。此时 $P(-13,9)$。
• 对于 $QA$：同理需 $\angle OAQ\ge 90^{\circ }$。 设 $Q(x,9)$。$Q{A}^2=(x-4{)}^2+(9-3{)}^2=d^2$。 当 $d=15$ 时，$(x-4{)}^2+36=225⟹(x-4{)}^2=189$。 $x=4\pm \sqrt{189}=4\pm 3\sqrt{21}$。 考察 $\angle OAQ$ 的余弦：$\overrightarrow{AO}=(-4,-3),\overrightarrow{AQ}=(x-4,6)$。 $\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{AQ}=-4(x-4)-18=-4x-2$。 要使 $\angle OAQ\ge 90^{\circ }$，需 $-4x-2\le 0⟹x\ge -0.5$。 故取 $x=4+3\sqrt{21}$。此时 $Q(4+3\sqrt{21},9)$。
• 此时 $P,Q$ 距离 $PQ=|x_Q-x_P|=(4+3\sqrt{21})-(-13)=17+3\sqrt{21}$。

故 $d$ 最小时，$P,Q$ 间的距离为 $17+3\sqrt{21}$ 百米。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 临界思想：在约束条件下求最值，往往发生在边界处（即垂直状态）。
2. 向量工具的优越性：在判断“线段上是否存在点进入圆内”时，利用向量内积判断角度是否为钝角，比求点到直线距离更直观、更快捷。
3. 应用题的审题：注意单位（百米）和规划要求的文字转化。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以总结：

• 若线段 $MN$ 上所有点到点 $O$ 距离 $\ge R$：
  1. 端点 $M,N$ 必须满足 $OM\ge R,ON\ge R$。
  2. 若 $O$ 在直线 $MN$ 上的投影点（垂足）落在线段 $MN$ 内部，则垂线段长度必须 $\ge R$。
  3. 若垂足在延长线上，则只需端点满足条件即可（即端点连线不经过圆）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 11.03 解三角形与解的个数判定

类题演练 (Links)

• 2014-重庆卷理-13 填-直线与圆
• 2013-江西卷理-09 单-直线与圆
• 2014-北京卷理-19 解-椭圆方程与性质