2019-江苏卷-22 解-极坐标

本题导读

本题考查极坐标系中的两点间距离公式。核心在于余弦定理法、几何性质分析法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年江苏卷）在极坐标系中，已知两点 $A\left(3,\frac{\pi }{4}\right),B\left(\sqrt{2},\frac{\pi }{2}\right)$，直线 $l$ 的方程为 $\rho \sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)=3$。

(1)求 $A,B$ 两点间的距离；

(2)求点 $B$ 到直线 $l$ 的距离。

🔍【思路分析】

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1. 第一问（距离）：

• 在极坐标系中，设极点为 $O$。已知 $OA,OB$ 的长度以及 $\angle AOB$ 的大小（即极角之差）。
• 运用余弦定理：$A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2-2OA\cdot OB\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)$。

2. 第二问（点到直线距离）：

• 方法一（几何法）：展开直线方程 $\rho (\sin \theta \cos \frac{\pi }{4}+\cos \theta \sin \frac{\pi }{4})=3$，化为直角坐标方程 $x+y=3\sqrt{2}$。再将点 $B$ 化为直角坐标，使用点到直线距离公式。
• 方法二（极坐标性质）：观察直线方程，它表示一条倾斜角为 $\frac{3\pi }{4}$ 的直线。点 $B$ 位于射线上，通过几何投影求解。

✅【答案】

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(1)$AB=\sqrt{5}$。

(2)距离为 $2$。

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 设极点为 $O$。在 $△OAB$ 中，$OA=3$，$OB=\sqrt{2}$。 夹角 $\angle AOB=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}$。 由余弦定理得： $AB=\sqrt{O{A}^2+O{B}^2-2OA\cdot OB\cos \angle AOB}$ $AB=\sqrt{3^2+(\sqrt{2}{)}^2-2\cdot 3\cdot \sqrt{2}\cdot \cos \frac{\pi }{4}}$ $AB=\sqrt{9+2-2\cdot 3\cdot \sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}$ $AB=\sqrt{11-6}=\sqrt{5}$ 所以 $A,B$ 两点间的距离为 $\sqrt{5}$。

(2)解： 将直线 $l$ 的方程 $\rho \sin (\theta +\frac{\pi }{4})=3$ 展开： $\rho (\sin \theta \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\cos \theta \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})=3⟹\frac{\sqrt{2}}{2}(y+x)=3$ 即直线 $l$ 的直角坐标方程为 $x+y-3\sqrt{2}=0$。 点 $B(\sqrt{2},\frac{\pi }{2})$ 的直角坐标为 $(0,\sqrt{2})$。 由点到直线的距离公式得： $d=\frac{|0+\sqrt{2}-3\sqrt{2}|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2$ 所以点 $B$ 到直线 $l$ 的距离为 $2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 极坐标与三角形：极坐标中的距离问题本质上是解三角形问题。
2. 转换思想：极坐标方程与直角坐标方程的互相转换（$x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$）是解决复杂位置关系的万能钥匙。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2010-辽宁卷文-23 解-参数方程与极坐标
• 2013-四川卷文-05 单-抛物线焦点距离
• 2013-重庆卷文-04 单-圆最短距离