2019-浙江卷-15 填-椭圆性质

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与几何性质，以及焦半径公式。

📌【题干】

Question

（2019年浙江卷）已知椭圆 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$ 的左焦点为 $F$，点 $P$ 在椭圆上且在 $x$ 轴的上方。若线段 $PF$ 的中点 $M$ 在以原点 $O$ 为圆心，$|OF|$ 为半径的圆上，则直线 $PF$ 的斜率是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 提取椭圆基本量： 由方程 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$ 可知，$a^2=9,b^2=5$，则 $c^2=a^2-b^2=4$。 得到 $a=3,c=2$。左焦点 $F(-2,0)$，右焦点记为 $F_2(2,0)$。
2. 转化几何条件：

• 圆的半径为 $|OF|=c=2$。中点 $M$ 在圆上，意味着 $|OM|=2$。
• 在 $△PF{F}_2$ 中，$O$ 是 $F{F}_2$ 的中点，$M$ 是 $PF$ 的中点。
• 根据三角形中位线定理，$OM=\frac{1}{2}P{F}_2$。
• 从而得出 $P{F}_2=2|OM|=2\times 2=4$。

3. 确定点 $P$ 坐标：

• 利用焦半径公式 $P{F}_2=a-e{x}_P$（其中离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{2}{3}$）。
• 代入数据：$4=3-\frac{2}{3}{x}_P$，求出 $x_P$。
• 代入椭圆方程求出 $y_P$（注意 $y_P>0$）。

4. 计算斜率： 利用直线的斜率公式 $k=\frac{y_P-y_F}{x_P-x_F}$ 求解。

✅【答案】

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$\sqrt{15}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $\sqrt{15}$

【解析过程】


第一步：基础参数计算 椭圆中 $a=3,b=\sqrt{5},c=\sqrt{9-5}=2$。 左焦点 $F(-2,0)$，右焦点 $F_2(2,0)$。离心率 $e=\frac{2}{3}$。

第二步：利用中位线定理转化 设线段 $PF$ 的中点为 $M$。在 $△PF{F}_2$ 中： $O$ 是 $F{F}_2$ 的中点（原点），$M$ 是 $PF$ 的中点。 所以 $OM$ 是 $△PF{F}_2$ 的中位线，则 $P{F}_2=2OM$。 因为 $M$ 在圆 $x^2+y^2=|OF{|}^2=2^2$ 上，所以 $OM=2$。 由此得到：$P{F}_2=2\times 2=4$。

第三步：求点 $P$ 的坐标 根据椭圆右焦半径公式 $P{F}_2=a-e{x}_P$： $4=3-\frac{2}{3}{x}_P⟹\frac{2}{3}{x}_P=-1⟹x_P=-\frac{3}{2}$ 将 $x_P=-\frac{3}{2}$ 代入椭圆方程 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$： $\frac{(-\frac{3}{2}{)}^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1⟹\frac{1}{4}+\frac{y^2}{5}=1⟹\frac{y^2}{5}=\frac{3}{4}⟹y^2=\frac{15}{4}$ 由于点 $P$ 在 $x$轴上方，所以 $y_P=\frac{\sqrt{15}}{2}$。 即点 $P\left(-\frac{3}{2},\frac{\sqrt{15}}{2}\right)$。

第四步：计算直线 $PF$ 的斜率 已知 $F(-2,0)$，$P\left(-\frac{3}{2},\frac{\sqrt{15}}{2}\right)$： $k_{PF}=\frac{\frac{\sqrt{15}}{2}-0}{-\frac{3}{2}-(-2)}=\frac{\frac{\sqrt{15}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{15}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 三角形中位线的隐蔽性：在涉及“中点”和“原点（焦距中点）”的椭圆题中，三角形中位线定理几乎是解题的标配。它能迅速将圆的半径与焦半径联系起来。
2. 焦半径公式的优越性：虽然可以用两点间距离公式列方程，但焦半径公式 $r=a\pm ex$ 能直接建立坐标与长度的一次函数关系，计算量大大降低。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以总结以下关于中点的常见结论：

• 模型 A（本题）：$PF$ 中点与原点连线 $⟹$ 中位线 $⟹$ 转化为另一侧焦半径。
• 模型 B（垂径定理变体）：若 $OM\perp PF$，则 $M$ 是弦 $PF$ 的中点。
• 模型 C（平行四边形）：若 $P,Q$ 关于原点对称，则 $P{F}_{1}Q{F}_2$ 构成平行四边形。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 11.06 中线模型与衍生恒等式

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷理-11 单-抛物线定义
• 2000-广东卷理-14 填-椭圆的标准方程与几何性质
• 2004-全国卷I理-07 单-椭圆