2019-浙江卷-16 填-函数化简

本题导读

本题考查函数解析式的化简，以及存在性问题。

📌【题干】

Question

（2019年浙江卷）已知 $a\in \mathbb{R}$，函数 $f(x)=a{x}^3-x$。若存在 $t\in \mathbb{R}$，使得 $|f(t+2)-f(t)|\le \frac{2}{3}$，则实数 $a$ 的最大值是 $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化简差式： 首先展开并化简 $f(t+2)-f(t)$： $f(t+2)-f(t)=a[(t+2{)}^3-t^3]-[(t+2)-t]$ 利用立方差公式 $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$： $=a[2(t^2+2t+4+t^2+2t+t^2)]-2$ $=a[2(3t^2+6t+4)]-2=2[a(3t^2+6t+4)-1]$
2. 换元处理： 令 $m=3t^2+6t+4$。观察这个二次函数： $m=3(t+1{)}^2+1$。因为 $t\in \mathbb{R}$，所以 $m$ 的取值范围是 $[1,+\infty )$。
3. 转化不等式： 原不等式 $|2(am-1)|\le \frac{2}{3}$ 简化为： 存在 $m\ge 1$，使得 $|am-1|\le \frac{1}{3}$。
4. 求解存在性问题： 等价于区间 $[1,+\infty )$ 与不等式 $-\frac{1}{3}\le am-1\le \frac{1}{3}$ 的解集有交点。 即 $\frac{2}{3}\le am\le \frac{4}{3}$。

✅【答案】

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$\frac{4}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $\frac{4}{3}$

【解析过程】

第一步：表达式化简 $f(t+2)-f(t)=a(t+2{)}^3-(t+2)-(a{t}^3-x)$ $=a(6t^2+12t+8)-2$ $=2[a(3t^2+6t+4)-1]$ 代入绝对值不等式： $|2[a(3t^2+6t+4)-1]|\le \frac{2}{3}⟹|a(3t^2+6t+4)-1|\le \frac{1}{3}$

第二步：换元并确定范围 令 $m=3t^2+6t+4=3(t+1{)}^2+1$。 因为 $t\in \mathbb{R}$，所以 $m\in [1,+\infty )$。 问题转化为：是否存在 $m\in [1,+\infty )$，使得： $\frac{2}{3}\le am\le \frac{4}{3}$


第三步：分类讨论 $a$ 的范围

1. 若 $a\le 0$： 则 $am\le 0$，无法满足 $am\ge \frac{2}{3}$，故 $a$ 必大于 0。
2. 若 $a>0$： 不等式 $\frac{2}{3}\le am\le \frac{4}{3}$ 可化为 $\frac{2}{3a}\le m\le \frac{4}{3a}$。 要使该区间与 $[1,+\infty )$ 有交点，只需该区间的右端点大于等于 $1$ 即可（即存在某个 $m$ 落在该范围内）： $\frac{4}{3a}\ge 1⟹4\ge 3a⟹a\le \frac{4}{3}$

所以 $a$ 的最大值为 $\frac{4}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. “存在”与“恒成立”的区别：

• 恒成立：要求整个定义域都在解集内（类似于“所有人都要及格”）。
• 存在：只要定义域与解集有交点即可（类似于“只要有一个人及格”）。 本题是存在性问题，所以只需要 $m$ 的范围 $[1,+\infty )$ 与 $\left[\frac{2}{3a},\frac{4}{3a}\right]$ 有交集。

2. 换元的彻底性：在化简 $f(t+2)-f(t)$ 时，发现 $t$ 只出现在 $3t^2+6t+4$ 这个整体中，果断换元可以极大地简化视觉压力。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以补充这种数形结合的直观理解： 画出函数 $g(m)=am$ 的图象（过原点的直线）。我们要找的是：这条直线在 $m\ge 1$ 的区域内，是否能进入由 $y=\frac{2}{3}$ 和 $y=\frac{4}{3}$ 围成的“水平带状区域”。

• 只要直线的斜率 $a$ 足够大，它在 $m=1$ 时可能就已经穿过了这个区域；
• 但如果 $a$ 太大，直线可能会在 $m=1$ 之前就飞到了 $y=\frac{4}{3}$ 的上方，导致在 $m\ge 1$ 之后再也回不来。
• 关键临界点：当直线恰好在 $m=1$ 时穿过带状区域的最高点 $y=\frac{4}{3}$，即 $a\cdot 1=\frac{4}{3}$，此时 $a$ 达到最大。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 1999-全国卷理-17 填-基本不等式求 ab 范围
• 1999-全国卷理-19 解-对数型无理不等式
• 2004-重庆理-04 单-分式不等式的解法