2019-浙江卷-17 填-向量线性运算

本题导读

本题考查平面向量的线性运算。核心在于基底法、坐标法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年浙江卷）已知正方形 $ABCD$ 的边长为 1，记向量集合为 $\{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CD},\overrightarrow{DA},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}\}$。当每个 ${\lambda }_i(i=1,2,3,4,5,6)$ 取遍 $\pm 1$ 时， $\vec{V}={\lambda }_1\overrightarrow{AB}+{\lambda }_2\overrightarrow{BC}+{\lambda }_3\overrightarrow{CD}+{\lambda }_4\overrightarrow{DA}+{\lambda }_5\overrightarrow{AC}+{\lambda }_6\overrightarrow{BD}$， 则 $|\vec{V}|$ 的最小值是 $\underline{}$；最大值是 $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 统一基底：令 $\overrightarrow{AB}=\vec{i}$，$\overrightarrow{AD}=\vec{j}$。则其他向量可表示为：

• $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec{j}$
• $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}=-\vec{i}$
• $\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{AD}=-\vec{j}$
• $\overrightarrow{AC}=\vec{i}+\vec{j}$
• $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=-\vec{i}+\vec{j}$

2. 合并同类项：将 $\vec{V}$ 展开并按照 $\vec{i}$ 和 $\vec{j}$ 方向合并： $\vec{V}=({\lambda }_1-{\lambda }_3+{\lambda }_5-{\lambda }_6)\vec{i}+({\lambda }_2-{\lambda }_4+{\lambda }_5+{\lambda }_6)\vec{j}$ 令 $X={\lambda }_1-{\lambda }_3+{\lambda }_5-{\lambda }_6$，$Y={\lambda }_2-{\lambda }_4+{\lambda }_5+{\lambda }_6$。
3. 计算模长：$|\vec{V}|=\sqrt{X^2+Y^2}$。
4. 求最值：由于 ${\lambda }_i=\pm 1$，分析 $X$ 和 $Y$ 的奇偶性及取值范围。

✅【答案】

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0 ； $2\sqrt{5}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 0 ； $2\sqrt{5}$

【解析过程】

第一步：坐标化/基底化 设 $\overrightarrow{AB}=(1,0),\overrightarrow{AD}=(0,1)$。 则：$\overrightarrow{BC}=(0,1),\overrightarrow{CD}=(-1,0),\overrightarrow{DA}=(0,-1),\overrightarrow{AC}=(1,1),\overrightarrow{BD}=(-1,1)$。 向量 $\vec{V}$ 可表示为： $\vec{V}={\lambda }_1(1,0)+{\lambda }_2(0,1)+{\lambda }_3(-1,0)+{\lambda }_4(0,-1)+{\lambda }_5(1,1)+{\lambda }_6(-1,1)$ $\vec{V}=({\lambda }_1-{\lambda }_3+{\lambda }_5-{\lambda }_6,{\lambda }_2-{\lambda }_4+{\lambda }_5+{\lambda }_6)$

第二步：求最小值 令 $X={\lambda }_1-{\lambda }_3+{\lambda }_5-{\lambda }_6$，$Y={\lambda }_2-{\lambda }_4+{\lambda }_5+{\lambda }_6$。 由于每个 ${\lambda }_i\in \{1,-1\}$，则每个括号内都是 4 个奇数的和（或差），结果必为偶数。 要使 $|\vec{V}|=\sqrt{X^2+Y^2}$ 最小，观察能否使 $X=0$ 且 $Y=0$。

• 取 ${\lambda }_5=1,{\lambda }_6=1$，则 $X={\lambda }_1-{\lambda }_3,Y={\lambda }_2-{\lambda }_4+2$。
• 令 ${\lambda }_1=1,{\lambda }_3=1⟹X=0$。
• 令 ${\lambda }_2=-1,{\lambda }_4=1⟹Y=-1-1+2=0$。 此时 $|\vec{V}|=0$。

第三步：求最大值 要使 $X^2+Y^2$ 最大，需让 $|X|$ 和 $|Y|$ 尽可能大。 每个括号内有 4 项 $\pm 1$。

• $X$ 的最大取值为 $|1|+|-1|+|1|+|-1|=4$。
• 但是，注意 $X$ 和 $Y$ 共享了 ${\lambda }_5$ 和 ${\lambda }_6$。
• $X=({\lambda }_1-{\lambda }_3)+({\lambda }_5-{\lambda }_6)$
• $Y=({\lambda }_2-{\lambda }_4)+({\lambda }_5+{\lambda }_6)$ 若我们要让 $|X|=4$，必须有 ${\lambda }_5\ne {\lambda }_6$（例如 ${\lambda }_5=1,{\lambda }_6=-1$），此时 ${\lambda }_5-{\lambda }_6=2$。 但如果 ${\lambda }_5\ne {\lambda }_6$，则 ${\lambda }_5+{\lambda }_6=0$，此时 $Y={\lambda }_2-{\lambda }_4$，最大只能取 2。 此时 $X^2+Y^2=4^2+2^2=20$。 反之，若让 ${\lambda }_5={\lambda }_6$，则 $X$ 最大取 2，$Y$ 最大取 4，结果依然是 $2^2+4^2=20$。 故 $|\vec{V}{|}_{max}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 关联变量的制约：本题最难点在于 ${\lambda }_5$ 和 ${\lambda }_6$ 同时出现在 $X$ 和 $Y$ 中。这种“耦合关系”决定了 $X$ 和 $Y$ 不能同时达到最大值 4。
2. 基底法的优越性：正方形背景下的向量问题，建立直角坐标系（即以相邻两边为基底）几乎是标准解法，能迅速将几何问题转为初等代数问题。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累这类问题的通用处理模型：

1. 正交分解：将所有向量投影到两个互相垂直的方向上（如 $\vec{i},\vec{j}$）。
2. 合并变量：写出 $X=\sum k_i{\lambda }_i,Y=\sum m_i{\lambda }_i$。
3. 独立性分析：观察哪些 ${\lambda }_i$ 是独立的，哪些是关联的。
4. 穷举临界值：对于项数较少的填空题，直接讨论关联变量（如本题中的 ${\lambda }_5,{\lambda }_6$）的同号或异号情况，往往比写复杂的绝对值不等式要快得多。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2008-大纲卷I理-03
• 2008-广东卷理-08
• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算