2019-浙江卷-18 解-三角函数奇偶性

本题导读

本题考查三角函数的奇偶性。核心在于三角恒等变换、特殊值检验法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年浙江卷）设函数 $f(x)=\sin x,x\in \mathbb{R}$。

(1)已知 $\theta \in [0,2\pi )$，函数 $f(x+\theta )$ 是偶函数，求 $\theta$ 的值；

(2)求函数 $y=[f(x+\frac{\pi }{12}){]}^2+[f(x+\frac{\pi }{4}){]}^2$ 的值域。

🔍【思路分析】

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1. 第一问（奇偶性）：

• 函数 $g(x)=\sin (x+\theta )$ 是偶函数，根据三角函数的图象特征，其对称轴必为 $x=0$。
• 也可以利用偶函数定义 $g(x)=g(-x)$，即 $\sin (x+\theta )=\sin (-x+\theta )$。
• 最直接的方法：$\sin (x+\theta )$ 为偶函数时，其初相 $\theta$ 必须使函数变为 $\pm \cos x$。

2. 第二问（求值域）：

• 题目给出的形式是 ${\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B$，含有平方项。核心套路是“先降幂，后合一”。
• 利用降幂公式：${\sin }^2\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2}$。
• 展开合并后，利用辅助角公式化为 $A\sin (2x+\varphi )+B$ 的形式。
• 根据正弦函数的范围 $[-1,1]$ 确定最后的值域。

✅【答案】

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(1)$\theta =\frac{\pi }{2}$ 或 $\frac{3\pi }{2}$。

(2)值域为 $[1-\frac{\sqrt{3}}{2},1+\frac{\sqrt{3}}{2}]$。

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 因为 $f(x)=\sin x$，所以 $f(x+\theta )=\sin (x+\theta )$。 由于 $f(x+\theta )$ 是偶函数，则其图象关于 $y$ 轴对称， 所以当 $x=0$ 时，函数取得最大值或最小值。 即 $\sin (0+\theta )=\pm 1$， 所以 $\theta =k\pi +\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$。 又因为 $\theta \in [0,2\pi )$，

• 当 $k=0$ 时，$\theta =\frac{\pi }{2}$；
• 当 $k=1$ 时，$\theta =\frac{3\pi }{2}$。 故 $\theta$ 的值为 $\frac{\pi }{2}$ 或 $\frac{3\pi }{2}$。

(2)解： $y={\sin }^2(x+\frac{\pi }{12})+{\sin }^2(x+\frac{\pi }{4})$ 利用降幂公式 ${\sin }^2\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2}$： $y=\frac{1-\cos (2x+\frac{\pi }{6})}{2}+\frac{1-\cos (2x+\frac{\pi }{2})}{2}$ $y=1-\frac{1}{2}[\cos (2x+\frac{\pi }{6})+\cos (2x+\frac{\pi }{2})]$ 利用诱导公式 $\cos (2x+\frac{\pi }{2})=-\sin 2x$ 以及和角公式展开 $\cos (2x+\frac{\pi }{6})$： $y=1-\frac{1}{2}[\cos 2x\cos \frac{\pi }{6}-\sin 2x\sin \frac{\pi }{6}-\sin 2x]$ $y=1-\frac{1}{2}[\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x-\frac{1}{2}\sin 2x-\sin 2x]$ $y=1-\frac{1}{2}[\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x-\frac{3}{2}\sin 2x]$ $y=1-\frac{\sqrt{3}}{4}\cos 2x+\frac{3}{4}\sin 2x$ 利用辅助角公式 $a\sin \alpha +b\cos \alpha =\sqrt{a^2+b^2}\sin (\alpha +\varphi )$： 提取系数 $\sqrt{(\frac{3}{4}{)}^2+(-\frac{\sqrt{3}}{4}{)}^2}=\sqrt{\frac{9}{16}+\frac{3}{16}}=\sqrt{\frac{12}{16}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 $y=1+\frac{\sqrt{3}}{2}(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x-\frac{1}{2}\cos 2x)$ $y=1+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin (2x-\frac{\pi }{6})$ 因为 $\sin (2x-\frac{\pi }{6})\in [-1,1]$， 所以 $y\in [1-\frac{\sqrt{3}}{2},1+\frac{\sqrt{3}}{2}]$。 故函数的值域为 $[1-\frac{\sqrt{3}}{2},1+\frac{\sqrt{3}}{2}]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 奇偶性的本质：

• $\sin (x+\theta )$ 为奇函数 $⟺\theta =k\pi$（变回正弦曲线或其相反数）。
• $\sin (x+\theta )$ 为偶函数 $⟺\theta =k\pi +\frac{\pi }{2}$（平移成余弦曲线或其相反数）。

2. 公式选择：在处理 ${\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B$ 时，除了降幂公式，有时也可以使用积化和差，但降幂公式往往更直观，不容易出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以总结此类解答题的通用步骤：

1. 降次与去括号：利用倍角公式、降幂公式处理二次项。
2. 合一（收缩）：利用辅助角公式（Asin型）将多个三角函数项合并为一个。
3. 性质分析：在 $y=A\sin (\omega x+\phi )+B$ 的基础上，分析定义域、值域、单调性或对称性。注意：如果 $x$ 有限制范围，必须先求出 $\omega x+\phi$ 的范围，再看 $\sin$ 的取值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 1995-全国卷理-22
• 2003-全国卷理-04
• 2003-广东卷-07