2020-上海卷-05 填-线性规划

本题导读

本题考查简单线性规划，以及二元一次不等式组表示的平面区域。

📌【题干】

Question

（2020年上海卷）已知 $x,y$ 满足 $\{\begin{array}{l}x+y-2\ge 0\\ x+2y-3\le 0\\ y\ge 0\end{array}$，则 $z=y-2x$ 的最大值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 画出可行域：在直角坐标系中画出三个不等式对应的直线，确定公共部分（可行域）。
2. 分析目标函数：将 $z=y-2x$ 变形为斜截式 $y=2x+z$。这里 $z$ 是直线在 $y$ 轴上的截距。
3. 寻找最优解：平移直线 $y=2x$，使其在可行域内移动。当截距 $z$ 最大时，直线经过可行域的哪个顶点。
4. 计算交点与最值：求出该顶点的坐标，代入 $z$ 的表达式计算。

✅【答案】

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-1

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定可行域

• 直线 $l_1:x+y=2$ 经过点 $(2,0),(0,2)$，不等式 $x+y-2\ge 0$ 表示直线右上方区域。

• 直线 $l_2:x+2y=3$ 经过点 $(3,0),(0,1.5)$，不等式 $x+2y-3\le 0$ 表示直线左下方区域。

• $y\ge 0$ 表示 $x$ 轴及上方区域。 三个区域的交集为一个三角形区域，顶点分别为：

• $A$: 联立 $x+y=2$ 与 $x+2y=3$，解得 $A(1,1)$；

• $B$: 联立 $x+y=2$ 与 $y=0$，解得 $B(2,0)$；

• $C$: 联立 $x+2y=3$ 与 $y=0$，解得 $C(3,0)$。

第二步：平移目标函数直线 目标函数 $z=y-2x$ 可化为 $y=2x+z$。 这是一条斜率为 $2$ 的平行直线系。要使截距 $z$ 最大，直线应尽可能向上平移。 观察可行域图形，当直线经过顶点 $A(1,1)$ 时，$z$ 取得最大值。

第三步：计算最值 将 $A(1,1)$ 代入 $z=y-2x$： $z_{max}=1-2\times 1=-1$。

最终答案为：-1


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 作图准确性：线性规划的核心在于可行域的准确绘制，尤其是顶点的判定。
2. 截距与最值的关系：注意目标函数中 $y$ 的系数。若为正（如本题），则 $z$ 与 $y$ 轴截距同向；若为负（如 $z=2x-y$），则截距最小时 $z$ 最大。
3. 计算检查：可以将三个顶点 $(1,1),(2,0),(3,0)$ 全部代入验证：$z_A=-1,z_B=-4,z_C=-6$。显然 $-1$ 是最大值。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论的推广:
  • 对于线性目标函数，最优解通常在可行域的顶点或边界上取得。
  • 若目标函数的斜率与可行域某条边界的斜率相等，则最优解有无数个。
• 方法的推广:
  • 非线性目标函数：若目标函数是 $z=x^2+y^2$，则转化为点到原点距离的平方；若是 $z=\frac{y-b}{x-a}$，则转化为斜率问题。
• 相关知识点:
  • 向量意义：$z=y-2x$ 可以看作向量 $(x,y)$ 与向量 $(-2,1)$ 的数量积。
  • 半平面：二元一次不等式在平面上划分出的区域称为半平面。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2006-全国卷I理-14 填-目标函数的最值求解
• 2016-北京卷理-02
• 2016-天津卷理-02