2020-上海卷-08 填-等差数列求和

本题导读

本题考查等差数列的性质，以及等差数列的前 $n$ 项和公式。

📌【题干】

Question

（2020年上海卷）已知数列 $\{a_n\}$ 是公差不为零的等差数列，且 $a_1+a_{10}=a_9$，则 $\frac{a_1+a_2+\cdots +a_9}{a_{10}}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用等差性质简化已知条件：由 $a_1+a_{10}=a_9$，代入通项公式或利用下标和性质求出首项与公差的关系。
2. 转化目标式：分子是等差数列的前 9 项和 $S_9$，根据公式 $S_9=\frac{9(a_1+a_9)}{2}=9a_5$ 进行转化。
3. 统一变量求解：将分子和分母均用首项 $a_1$ 和公差 $d$ 表示，或者统一用某一项表示，从而约分求出比值。

✅【答案】

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\frac{27}{8}

✍【详细解析】

Abstract

第一步：处理已知条件 设等差数列首项为 $a_1$，公差为 $d$ ($d\ne 0$)。 由 $a_1+a_{10}=a_9$ 得： $a_1+(a_1+9d)=a_1+8d$ $a_1+d=0⟹a_1=-d$。 由此可得：$a_n=a_1+(n-1)d=-d+(n-1)d=(n-2)d$。

第二步：计算目标式中的分量 分子：$a_1+a_2+\cdots +a_9=S_9=\frac{9(a_1+a_9)}{2}$ 代入 $a_n=(n-2)d$： $S_9=\frac{9[(-d)+(7d)]}{2}=\frac{9\times 6d}{2}=27d$。 分母：$a_{10}=(10-2)d=8d$。

第三步：求比值 $\frac{S_9}{a_{10}}=\frac{27d}{8d}=\frac{27}{8}$。

最终答案为：\frac{27}{8}

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 下标和性质：等差数列中，若 $m+n=p+q$，则 $a_m+a_n=a_p+a_q$。本题中 $a_1+a_{10}=a_2+a_9$，利用此类性质可加快计算。
2. 参数减元：等差数列问题通常有两个自由度（$a_1$ 和 $d$），通过一个等式即可锁定两者的比例关系。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论的推广:
  • 对于等差数列，前 $n$ 项和 $S_n=n\cdot a_{mid}$（当 $n$ 为奇数时，$a_{mid}$ 为中间项）。
• 方法的推广:
  • 基本量法：即全部化为 $a_1$ 和 $d$。这是处理数列问题的通法，虽然有时不够简便，但逻辑最稳。
• 相关知识点:
  • 等比数列：若题干改为等比数列，则需利用 $a_1\cdot a_{10}=a_9$ 建立比例关系，考查点将转向积的性质。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷理-10 填-等差数列性质
• 2013-大纲卷理-17 解-等差数列通项
• 2013-广东卷理-12 填-等差数列性质