2020-上海卷-13 单-不等式恒成立

本题导读

本题考查基本不等式及其变形，以及完全平方公式。

📌【题干】

Question

（2020年上海卷）下列不等式恒成立的是（ ）

A. $a^2+b^2\le 2ab$　　　　　　　　　　　　　　　　B. $a^2+b^2\ge -2ab$

C. $a+b\ge 2\sqrt{|ab|}$　　　　　　　　　　　　　　　　D. $a^2+b^2\le -2ab$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析选项 A：由 $(a-b{)}^2\ge 0$ 知 $a^2+b^2\ge 2ab$，选项 A 符号反向。
2. 分析选项 B：考虑完全平方公式 $(a+b{)}^2=a^2+b^2+2ab$。由于平方项非负，可以通过移项判定 $a^2+b^2$ 与 $-2ab$ 的大小关系。
3. 分析选项 C：由于 $a,b$ 未限定为正数，若取 $a,b$ 为负数，左边为负，右边为非负，不等式显然不成立。
4. 分析选项 D：同 A，只有当 $a+b=0$ 且均为 0 时才可能成立，不具有恒成立性。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

选项 A 判定： 对于任意实数 $a,b$，恒有 $(a-b{)}^2\ge 0$。 展开得 $a^2-2ab+b^2\ge 0⟹a^2+b^2\ge 2ab$。 故 A 错误。

选项 B 判定： 对于任意实数 $a,b$，恒有 $(a+b{)}^2\ge 0$。 展开得 $a^2+2ab+b^2\ge 0⟹a^2+b^2\ge -2ab$。 该不等式对一切实数 $a,b$ 均成立。 故 B 正确。

选项 C 判定： 取 $a=-1,b=-1$。 左边 $a+b=-2$； 右边 $2\sqrt{|(-1)\times (-1)|}=2\sqrt{1}=2$。 $-2\ge 2$ 不成立，故 C 错误。

选项 D 判定： 由 B 可知 $a^2+b^2\ge -2ab$，故 D 仅在 $a+b=0$ 时取等号，其他情况均不成立。 故 D 错误。

最终答案为：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 基础核心：所有实数不等式最根本的源头是“实数的平方非负”。
2. 易错陷阱：基本不等式 $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ 成立的前提必须是 $a,b$ 为正实数。本题中未说明 $a,b$ 范围，这是排除 C 的关键。
3. 上海卷特色：选择题第一题通常非常基础，考查对基本公式和定义域条件的严谨性。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论的推广:
  • 均值不等式链：对于正实数 $a,b$，有 $\frac{2ab}{a+b}\le \sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$。
• 方法的推广:
  • 作差比较法：判断 $A\ge B$ 是否成立，通常转化为判断 $A-B$ 是否能凑成完全平方和的形式。
• 相关知识点:
  • 绝对值不等式：$|a|+|b|\ge |a+b|$。
  • 二次函数：$y=x^2+2ax+a^2$ 图像开口向上且与 $x$ 轴至多有一个交点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2014-上海卷文-06 填-基本不等式
• 2004-湖南理-07 单-基本不等式及其变形应用
• 2006-浙江卷理-07 单-基本不等式