2020-全国卷I文-07 单-三角函数零点

本题导读

本题考查三角函数的图像与性质，以及最小正周期的计算公式。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷I(文)）7. 设函数 $f(x)=\cos (\omega x+\frac{\pi }{6})$ 在 $[-\pi ,\pi ]$ 的图像大致如下，则 $f(x)$ 的最小正周期为（ ）

A. $\frac{10\pi }{9}$　　　　　　B. $\frac{7\pi }{6}$　　　　　　C. $\frac{4\pi }{3}$　　　　　　D. $\frac{3\pi }{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别图像特征：

• 观察图像，函数在负半轴靠近 $y$ 轴的第一个零点（图象与 $x$ 轴的交点）为 $-\frac{4\pi }{9}$。
• 函数在 $x=0$ 处的值 $f(0)=\cos (\frac{\pi }{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}>0$，且在 $y$ 轴左侧正在下降。

2. 建立零点方程：

• 余弦函数 $y=\cos z$ 的零点为 $z=k\pi +\frac{\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$。
• 对应到本题，令 $\omega \cdot (-\frac{4\pi }{9})+\frac{\pi }{6}=\varphi$。
• 结合图像，$x=-\frac{4\pi }{9}$ 是 $y$ 轴左侧第一个零点，通常对应余弦函数从正值减小到 0 的那个位置，即 $\varphi =-\frac{\pi }{2}$（或者根据图像趋势判断对应的 $k$ 值）。

3. 计算周期：

• 求出 $\omega$ 后，利用公式 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$ 求解。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C

【解析过程】

1. 确定零点对应的相位： 由图可知，点 $(-\frac{4\pi }{9},0)$ 在函数图像上。 代入解析式得：$\cos (\omega \cdot (-\frac{4\pi }{9})+\frac{\pi }{6})=0$。 这意味着相位 $-\frac{4\pi }{9}\omega +\frac{\pi }{6}=k\pi +\frac{\pi }{2}$。

2. 确定 $k$ 值： 由图象趋势可知，$f(0)=\cos \frac{\pi }{6}>0$。在 $x$ 从 0 向左移动到 $-\frac{4\pi }{9}$ 的过程中，相位减小。 余弦函数在 $\frac{\pi }{6}$ 左侧第一个零点是 $-\frac{\pi }{2}$。 因此，令 $-\frac{4\pi }{9}\omega +\frac{\pi }{6}=-\frac{\pi }{2}$。

3. 求解 $\omega$ 与 $T$： $-\frac{4\pi }{9}\omega =-\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{6}$ $-\frac{4\pi }{9}\omega =-\frac{2\pi }{3}$ $\omega =\frac{2\pi }{3}\cdot \frac{9}{4\pi }=\frac{3}{2}$。

最小正周期 $T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{\frac{3}{2}}=\frac{4\pi }{3}$。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 余弦函数的零点分布： 熟记 $\cos z=0⟹z=\dots ,-\frac{3\pi }{2},-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2},\dots$。
• 数形结合的严谨性： 在选定 $k$ 时，一定要对比 $y$ 轴截距。如果 $y$ 轴截距是负的，说明第一个负零点可能对应的是 $-\frac{3\pi }{2}$。
• 周期公式： 无论正弦还是余弦，$T=\frac{2\pi }{\omega }$。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果图像给的是最高点 $(x_0,1)$，则方程应建立为 $\omega x_0+\phi =2k\pi$。通常最高点和零点之间相差 $\frac{1}{4}$ 个周期，这也是一种快速估算 $\omega$ 的方法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2012年上海卷理-21
• 2012年四川卷理-5
• 2009-辽宁卷-08