2020-全国卷I文-08 单-指数幂运算

本题导读

本题考查对数的运算性质，以及指数幂的化简与运算。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷I(文)）设 $a{\log }_{3}4=2$, 则 $4^{-a}=$ ( )

A. $\frac{1}{16}$　　　　　　B. $\frac{1}{9}$　　　　　　C. $\frac{1}{8}$　　　　　　D. $\frac{1}{6}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用对数性质将 $a{\log }_{3}4=2$ 化简，求出 $a$ 与底数的关系。
2. 将待求式 $4^{-a}$ 转化为以 $2$ 或 $3$ 为底的幂进行整体代入计算。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

因为 ${\log }_{3}4=2{\log }_{3}2$，所以 $a\cdot 2{\log }_{3}2=2⟹a{\log }_{3}2=1⟹a=\frac{1}{{\log }_{3}2}={\log }_{2}3$. 则 $4^{-a}=(2^2{)}^{-a}=(2^a{)}^{-2}$. 因为 $2^a=2^{{\log }_{2}3}=3$， 所以 $4^{-a}=3^{-2}=\frac{1}{9}$. 故选：(B)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数运算、指数幂化简。
2. 核心方法：熟练运用对数基本性质及指数幂运算法则。
3. 避坑指南：注意底数转换时的准确性，切勿直接代入导致计算繁琐。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考数学指数与对数运算常考基础题。
2. 结论推广：形如 $a{\log }_{m}n=k$ 的式子常通过换底公式转化为指数关系求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1977-北京理-03
• 1977-江苏卷-01(4)
• 1977-河北卷-04