2020-全国卷I文-12 单-球表面积

本题导读

本题考查球的截面性质，以及正三角形的外接圆半径。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷I(文)）已知 $A,B,C$ 为球 $O$ 的球面上的三个点, $\odot O_1$ 为 $△ABC$ 的外接圆, 若 $\odot O_1$ 的面积为 $4\pi$, $AB=BC=AC=O{O}_1$, 则球 $O$ 的表面积为 ( )

A. $64\pi$　　　　　　　B. $48\pi$　　　　　　　C. $36\pi$　　　　　　　D. $32\pi$

🔍【思路分析】

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1. 根据 $\odot O_1$ 的面积为 $4\pi$ 求出 $△ABC$ 的外接圆半径 $r$.
2. 利用边长相等的正三角形性质，求出正三角形的边长 $a$ 与外接圆半径 $r$ 的关系。
3. 利用球心 $O$ 到截面圆心 $O_1$ 的距离 $O{O}_1$、球半径 $R$ 以及外接圆半径 $r$ 构成的直角三角形，结合 $O{O}_1=AB$ 列方程求解 $R$，最终计算球的表面积。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

设 $\odot O_1$ 的半径为 $r$. 由 $\odot O_1$ 的面积为 $\pi r^2=4\pi$，得 $r=2$. 因为 $△ABC$ 是边长为 $a$ 的正三角形，其外接圆半径公式为 $r=\frac{\sqrt{3}}{3}a$. 代入 $r=2$ 得 $\frac{\sqrt{3}}{3}a=2⟹a=2\sqrt{3}$. 已知 $O{O}_1=AB=a=2\sqrt{3}$，即球心到截面圆心的距离 $d=O{O}_1=2\sqrt{3}$. 在由球半径 $R$、截面圆半径 $r$、球心到截面圆心距离 $d$ 构成的直角三角形中： $R^2=d^2+r^2=(2\sqrt{3}{)}^2+2^2=12+4=16$. 解得球的半径 $R=4$. 因此，球 $O$ 的表面积为： $S=4\pi R^2=4\pi (4{)}^2=64\pi$. 故选：(A)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：球的截面圆性质、正三角形外接圆半径、球表面积公式。
2. 核心方法：构建“球半径 $R$、截面半径 $r$、球心距 $d$”的直角三角形列方程。
3. 避坑指南：正三角形外接圆半径公式为 $r=\frac{\sqrt{3}}{3}a$，切勿误用内切圆半径公式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考立体几何中关于球的截面与表面积计算的经典压轴选择题。
2. 结论推广：球面上的多边形外接圆与球心、截面圆心构成的直角三角形是解决球体空间几何量计算的核心模型。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷理-16 填-球表面积
• 2013-新课标I卷理-06 单-球的体积与表面积
• 1994-全国卷理-13