2020-全国卷I文-23 解-不等式选讲

本题导读

本题考查绝对值函数的分段表示。核心在于零点分段法、数形结合法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷I(文)）23. 已知函数 $f(x)=|3x+1|-2|x-1|$。

（1）画出 $y=f(x)$ 的图像；

（2）求不等式 $f(x)>f(x+1)$ 的解集。

🔍【思路分析】

破题导航

（1）绘制图像：

• 零点分段： 绝对值内的零点为 $x=-1/3$ 和 $x=1$。
• 分段解析式：
  1. $x<-1/3$ 时：$f(x)=-(3x+1)+2(x-1)=-x-3$
  2. $-1/3\le x<1$ 时：$f(x)=(3x+1)+2(x-1)=5x-1$
  3. $x\ge 1$ 时：$f(x)=(3x+1)-2(x-1)=x+3$
• 连线作图： 根据三段一次函数绘制折线图。

（2）解不等式 $f(x)>f(x+1)$：

• 图像变换： $y=f(x+1)$ 的图像是由 $y=f(x)$ 向左平移 1 个单位得到的。
• 数形结合： 在同一坐标系中画出两个图像，观察 $f(x)$ 图像在 $f(x+1)$ 图像上方的部分。
• 求交点： 确定两个图像交点的横坐标，进而写出解集。

✅【答案】

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$(-\infty ,-\frac{7}{6})$

✍【详细解析】

Abstract

（1）画出 $y=f(x)$ 的图像 由题意，$f(x)=\{\begin{array}{ll}-x-3,& x<-\frac{1}{3}\\ 5x-1,& -\frac{1}{3}\le x<1\\ x+3,& x\ge 1\end{array}$

（2）求不等式 $f(x)>f(x+1)$ 的解集 函数 $y=f(x+1)$ 的图像可由 $y=f(x)$ 向左平移 1 个单位得到。 其解析式为： $f(x+1)=\{\begin{array}{ll}-(x+1)-3=-x-4,& x+1<-\frac{1}{3}⟹x<-\frac{4}{3}\\ 5(x+1)-1=5x+4,& -\frac{4}{3}\le x<0\\ (x+1)+3=x+4,& x\ge 0\end{array}$

观察图像可知： 在 $x$ 轴负半轴较远端，$f(x)=-x-3$ 与 $f(x+1)=5x+4$（平移后的中间段）会产生交点。 令 $-x-3=5x+4$： $6x=-7⟹x=-\frac{7}{6}$ 观察图像趋势：

• 当 $x<-\frac{7}{6}$ 时，$f(x)$ 的图像始终在 $f(x+1)$ 的上方。
• 当 $x>-\frac{7}{6}$ 时，经观察其余各段，均满足 $f(x)\le f(x+1)$ 或不满足题意。

因此，不等式 $f(x)>f(x+1)$ 的解集为 $\{x\mid x<-\frac{7}{6}\}$，即 $(-\infty ,-\frac{7}{6})$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 零点分段法： 绝对值函数去掉符号的标准动作，注意端点值的连续性检查。
• 平移思想： 很多学生习惯于直接列出 $f(x+1)$ 的复杂解析式并再次分 5-6 段讨论，这会耗费巨大精力且极易出错。利用图像平移只需关注交点附近的函数段，是压轴选考题的提速利器。
• 交点确定： 求交点时要看清对应的是哪两段射线/线段，本题中是 $f(x)$ 的左侧射线与 $f(x+1)$ 的中间上升段相交。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-13 填-根式对数定义域
• 2013-上海卷理-23 解-绝对值函数
• 2022-上海卷-18 解-对数函数综合