2020-全国卷I理-02 单-集合运算

本题导读

本题考查集合的交集运算，以及一元二次不等式的解法。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷I(理)）2. 设集合 $A=\{x\mid x^2-4\le 0\}$，$B=\{x\mid 2x+a\le 0\}$，且 $A\cap B=\{x\mid -2\le x\le 1\}$，则 $a=$（ ）

A. $-4$　　　　　　　B. $-2$　　　　　　　C. 2　　　　　　　D. 4

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化简集合 A： 解二次不等式 $x^2-4\le 0$，得到 $x$ 的闭区间范围。

2. 化简集合 B： 解一次不等式 $2x+a\le 0$，得到一个关于参数 $a$ 的射线范围（$x\le \text{某个值}$）。

3. 利用交集定界： 对比 $A\cap B$ 的结果与 $A,B$ 的范围。在数轴上，$B$ 集合的右端点必须落在交集的右端点上。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B

【解析过程】

1. 解集合 A： 由 $x^2-4\le 0$ 得 $(x-2)(x+2)\le 0$， 解得 $-2\le x\le 2$。 即 $A=\{x\mid -2\le x\le 2\}$。

2. 解集合 B： 由 $2x+a\le 0$ 得 $2x\le -a$， 解得 $x\le -\frac{a}{2}$。 即 $B=\{x\mid x\le -\frac{a}{2}\}$。

3. 求交集并对比： $A\cap B=\{x\mid -2\le x\le 2\}\cap \{x\mid x\le -\frac{a}{2}\}$。 根据数轴分析，交集的结果应为 $-2\le x\le \min (2,-\frac{a}{2})$。 已知 $A\cap B=\{x\mid -2\le x\le 1\}$， 由此可得：$-\frac{a}{2}=1$。 解得 $a=-2$。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 数轴法的重要性： 处理集合的交、并、补集时，尤其是带有参数时，画数轴可以有效避免丢解或混淆边界。

• 端点包含性： 注意不等式中的“$\le$”和“$<$”。本题全是闭区间，处理起来相对简单，若出现开区间，需额外注意端点是否能取到。

• 计算陷阱： 移项时注意符号。由 $2x\le -a$ 得到 $x\le -a/2$，如果 $a$ 前面有负号，不等号方向可能需要改变。

📖【试题探源与推广】

Tip

在高考中，这类题型常有变体：

1. 空集情况： 若 $A\cap B=\varnothing$，则需要集合 $B$ 的范围完全在 $A$ 的左侧或右侧（例如 $-\frac{a}{2}<-2$）。
2. 包含关系： 若 $A\subseteq B$，则要求 $B$ 的范围完全覆盖 $A$（例如 $-\frac{a}{2}\ge 2$）。
3. 二次不等式含参： 如果集合 $A$ 本身含有参数 $a$，则需要讨论二次项系数的正负及判别式 $\Delta$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-陕西卷理-01
• 2016-全国卷I理-01
• 2016-北京卷文-1