2020-全国卷I理-06 单-直线方程

本题导读

本题考查导数的几何意义，以及导数的四则运算。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷I(理)）6. 函数 $f(x)=x^4-2x^3$ 的图像在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程为（ ）

A. $y=-2x-1$　B. $y=-2x+1$　C. $y=2x-3$　D. $y=2x+1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定切点坐标： 计算 $f(1)$，得到完整的切点 $(1,y_0)$。

2. 求导计算斜率： 对 $f(x)$ 求导得到 $f^{\prime }(x)$，代入 $x=1$ 计算切线斜率 $k=f^{\prime }(1)$。

3. 写出直线方程： 利用点斜式方程 $y-y_0=k(x-x_0)$ 进行化简。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B

【解析过程】

1. 求切点纵坐标： 将 $x=1$ 代入函数解析式： $f(1)=1^4-2\times 1^3=1-2=-1$。 所以切点坐标为 $(1,-1)$。

2. 求切线斜率： 对 $f(x)=x^4-2x^3$ 求导得： $f^{\prime }(x)=4x^3-6x^2$。 代入 $x=1$： $k=f^{\prime }(1)=4\times 1^3-6\times 1^2=4-6=-2$。

3. 求切线方程： 由点斜式方程得： $y-(-1)=-2(x-1)$ $y+1=-2x+2$ 整理得：$y=-2x+1$。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 导数的物理与几何意义： - 几何意义：函数在某点处的导数等于该点切线的斜率。
  • 物理意义：位移对时间的导数是瞬时速度。
• “在点处”与“过点”的区别：
  • 在点处： 该点一定是切点，直接求导代入即可。
  • 过点： 该点不一定是切点，需要先设切点坐标 $(x_0,f(x_0))$，利用斜率公式和导数相等建立方程求解。
• 基础公式熟练度： 幂函数求导 $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ 必须形成熟练掌握。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果题目要求的是“法线方程”，则法线斜率 $k_{法}=-\frac{1}{k_{切}}$。 在本题中，$k_{切}=-2$，则法线斜率 $k_{法}=\frac{1}{2}$。 法线方程为：$y+1=\frac{1}{2}(x-1)⟹x-2y-3=0$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2005-江苏卷-14 填-导数的几何意义
• 2009-大纲卷II理-04
• 2009-江西卷理-05