2020-全国卷I理-08 单-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项式展开式的通项公式

📌【题干】

Question

（2020年全国卷I(理)）8. $(x+\frac{y^2}{x})(x+y{)}^5$ 的展开式中 $x^3{y}^3$ 的系数为（ ）

A. 5　　　　　　　B. 10　　　　　　　C. 15　　　　　　　D. 20

🔍【思路分析】

破题导航

1. 展开结构拆解： 原式可以拆分为两个部分之和： $(x+\frac{y^2}{x})(x+y{)}^5=x(x+y{)}^5+\frac{y^2}{x}(x+y{)}^5$

2. 利用通项公式： $(x+y{)}^5$ 的展开式通项公式为： $T_{r+1}=C_5^r{x}^{5-r}{y}^r(r=0,1,\dots ,5)$

3. 寻找目标项 $x^3{y}^3$：

• 第一部分 $x\cdot (x+y{)}^5$：若要得到 $x^3{y}^3$，则 $(x+y{)}^5$ 的展开式中必须提供 $x^2{y}^3$ 项。
• 第二部分 $\frac{y^2}{x}\cdot (x+y{)}^5$：若要得到 $x^3{y}^3$，则 $(x+y{)}^5$ 的展开式中必须提供 $x^4{y}^1$ 项。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C

【解析过程】 $(x+y{)}^5$ 展开式的通项为 $T_{r+1}=C_5^r{x}^{5-r}{y}^r$。

1. 针对第一部分 $x(x+y{)}^5$： 我们需要找到其中含 $x^3{y}^3$ 的项。 设 $(x+y{)}^5$ 中某项为 $C_5^r{x}^{5-r}{y}^r$，乘以 $x$ 后变为 $C_5^r{x}^{6-r}{y}^r$。 令 $\{\begin{array}{l}6-r=3\\ r=3\end{array}⟹r=3$。 对应的系数为 $C_5^3=10$。

2. 针对第二部分 $\frac{y^2}{x}(x+y{)}^5$： 我们需要找到其中含 $x^3{y}^3$ 的项。 设 $(x+y{)}^5$ 中某项为 $C_5^r{x}^{5-r}{y}^r$，乘以 $\frac{y^2}{x}$ 后变为 $C_5^r{x}^{4-r}{y}^{r+2}$。 令 $\{\begin{array}{l}4-r=3\\ r+2=3\end{array}⟹r=1$。 对应的系数为 $C_5^1=5$。

3. 求和： $x^3{y}^3$ 的系数为 $10+5=15$。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 通项公式的灵活运用： 熟记 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$ 是解二项式系数问题的基石。
• “凑项”技巧： 遇到 $(A+B)(C+D{)}^n$ 这种形式，一定要先分配，再根据指数要求反推 $r$ 的值。
• 组合数计算： 熟练掌握 $C_n^r=C_n^{n-r}$（如 $C_5^3=C_5^2=10$），可以加快口算速度。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果题目变为求展开式中的常数项，方法是一样的：令 $x$ 和 $y$ 的综合指数均为 0 即可。在涉及多项式相乘时，务必穷举所有可能的组合，防止漏掉某一部分贡献的系数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 1986-全国理-15 填-二项式的常数项
• 1988-全国卷理-05 单-二项式定理的指定项系数
• 1990-上海卷-08 填-二项式展开的系数