2020-全国卷I理-10 单-正弦定理

本题导读

本题考查球的表面积公式，以及球的截面性质。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷I(理)）10. 已知 $A,B,C$ 为球 $O$ 球面上的三个点，$\odot O_1$ 为 $△ABC$ 的外接圆。若 $\odot O_1$ 的面积为 $4\pi$，$AB=BC=AC=O{O}_1$，则球 $O$ 的表面积为（ ）

A. $64\pi$　　　　　　　B. $48\pi$　　　　　　　C. $36\pi$　　　　　　　D. $32\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求小圆半径 $r$： 利用圆 $\odot O_1$ 的面积公式 $S=\pi r^2$ 直接算出 $r$。

2. 求球心距 $d$ ($O{O}_1$)：

• 题目给出 $AB=BC=AC$，说明 $△ABC$ 是等边三角形。
• 利用正弦定理 $a=2r\sin A$ 求出边长 $AB$。
• 根据条件 $O{O}_1=AB$，确定球心到截面的距离 $d$。

3. 求球半径 $R$： 在直角三角形 $△O{O}_{1}A$ 中（$O$ 为球心，$O_1$ 为小圆圆心，$A$ 为球面上一点），利用勾股定理 $R^2=O{O}_1^2+r^2$ 计算 $R$。

4. 计算表面积： 代入公式 $S=4\pi R^2$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A

【解析过程】

1. 求截面圆半径 $r$： 设 $\odot O_1$ 的半径为 $r$，由 $\pi r^2=4\pi$ 得 $r=2$。

2. 求等边三角形边长及球心距： 因为 $AB=BC=AC$，所以 $△ABC$ 为正三角形。 由正弦定理可知：$AB=2r\sin 60^{\circ }=2\times 2\times \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$。 又已知 $O{O}_1=AB$，所以球心距 $d=O{O}_1=2\sqrt{3}$。

3. 求球的半径 $R$： 连接 $OA$，则 $OA=R$。在 $Rt△O{O}_{1}A$ 中： $R=\sqrt{O{O}_1^2+r^2}=\sqrt{(2\sqrt{3}{)}^2+2^2}=\sqrt{12+4}=\sqrt{16}=4$

4. 计算球的表面积： $S=4\pi R^2=4\pi \times 4^2=64\pi$

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心模型： 球面上的点与球心的关系。务必记住 $R^2=r^2+d^2$ 这个“黄金直角三角形”。
• 几何关系转化： 题目给出“面积”是为了给 $r$，给出“边长关系”是为了通过平面几何知识联系到空间距离 $O{O}_1$。
• 计算陷阱： 表面积公式是 $4\pi R^2$，体积公式是 $\frac{4}{3}\pi R^3$，考试时千万不要记混。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果题目变为“$△ABC$ 是直角三角形”，我们依然可以利用 $\frac{a}{\sin A}=2r$ 求出小圆半径 $r$。在处理球的内接多面体问题时，找准各部分的外接圆圆心与球心的位置关系是通解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷理-16 填-球表面积
• 2013-新课标I卷理-06 单-球的体积与表面积
• 2009-大纲卷I文-15 填-球的截面