2020-全国卷I理-13 填-线性规划

本题导读

本题考查线性规划，以及平面区域的表示。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷I(理)）13. 若 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}2x+y-2\le 0\\ x-y-1\ge 0\\ y+1\ge 0\end{array}$，则 $z=x+7y$ 的最大值为 $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 绘制可行域：

• $l_1:2x+y-2=0$（过 $(1,0),(0,2)$，取左下方区域）

• $l_2:x-y-1=0$（过 $(1,0),(0,-1)$，取右下方区域）

• $l_3:y=-1$（水平线，取上方区域）

2. 分析目标函数： 将 $z=x+7y$ 变形为斜截式：$y=-\frac{1}{7}x+\frac{z}{7}$。

• 斜率为 $-\frac{1}{7}$。
• $z$ 的最大值对应直线在 $y$ 轴上的截距最大。

3. 寻找最优解： 通过平移直线可知，当直线经过可行域最上方的顶点（即 $l_1$ 与 $l_2$ 的交点）时，截距最大。

✅【答案】

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最大值为 $1$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 1

【解析过程】

1. 求交点坐标： 联立直线方程： $\{\begin{array}{l}2x+y-2=0\\ x-y-1=0\end{array}$ 两式相加得：$3x-3=0⟹x=1$。 代入得：$y=0$。 所以顶点 $A(1,0)$。

2. 验证区域其他顶点：

• 联立 $x-y-1=0$ 与 $y=-1$ 得 $B(0,-1)$。

• 联立 $2x+y-2=0$ 与 $y=-1$ 得 $C(1.5,-1)$。

3. 代入计算 $z$ 值：

• 点 $A(1,0)$ 时，$z=1+7\times 0=1$；
• 点 $B(0,-1)$ 时，$z=0+7\times (-1)=-7$；
• 点 $C(1.5,-1)$ 时，$z=1.5+7\times (-1)=-5.5$。

比较可知，最大值为 1。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 斜率比较法： 目标函数的斜率 $k=-1/7$ 介于 $l_1$ 的斜率 $-2$ 和 $l_2$ 的斜率 $1$ 之间，这保证了最优解一定在交点处取得。
• 画图精准度： 虽然填空题不看图，但徒手草图的趋势必须准确（尤其是交点的相对位置），否则极易找错顶点。
• 直接代入法： 对于三角形可行域，最值必在三个顶点之一取得。若赶时间，求出三个顶点坐标全部代入比较即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果目标函数变为 $z=x^2+y^2$，则求的是可行域内的点到原点距离的平方。如果变为 $z=\frac{y-2}{x-3}$，则求的是点 $(x,y)$ 与定点 $(3,2)$ 连线的斜率。线性规划的考查正逐渐向这些几何意义变换的方向靠拢。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷II文-14 填-线性规划最大值
• 2006-上海文-09 填-线性规划最值
• 2005-上海卷文-03 填-线性规划最值