2020-全国卷II文-08 单-点到直线距离

本题导读

本题考查圆的标准方程，以及圆与坐标轴相切。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷II(文)）若过点 $(2,1)$ 的圆与两坐标轴都相切, 则圆心到直线 $2x-y-3=0$ 的距离为 ( )

A. $\frac{\sqrt{5}}{5}$　　　　　　B. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$　　　　　　C. $\frac{3\sqrt{5}}{5}$　　　　　　D. $\frac{4\sqrt{5}}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 因为圆与两坐标轴都相切且过点 $(2,1)$（第一象限），设圆心坐标为 $(r,r)$，半径为 $r$。
2. 根据圆的方程 $(x-r{)}^2+(y-r{)}^2=r^2$ 过点 $(2,1)$，建立关于 $r$ 的方程并求解。
3. 求出圆心坐标后，利用点到直线的距离公式计算圆心到直线 $2x-y-3=0$ 的距离。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

因为圆与两坐标轴都相切，且过点 $(2,1)$（该点横纵坐标均为正），所以圆心位于第一象限。 设圆心坐标为 $(r,r)$，半径为 $r$ ($r>0$)。 则圆的标准方程为： $(x-r{)}^2+(y-r{)}^2=r^2$. 因为圆过点 $(2,1)$，代入方程得： $(2-r{)}^2+(1-r{)}^2=r^2$ $4-4r+r^2+1-2r+r^2=r^2$ $r^2-6r+5=0⟹(r-1)(r-5)=0$. 解得 $r=1$ 或 $r=5$. 当 $r=1$ 时，圆心坐标为 $(1,1)$； 当 $r=5$ 时，圆心坐标为 $(5,5)$。 分别计算圆心到直线 $2x-y-3=0$ 的距离 $d$： ① 若圆心为 $(1,1)$： $d=\frac{|2(1)-1-3|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=\frac{|-2|}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$. ② 若圆心为 $(5,5)$： $d=\frac{|2(5)-5-3|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=\frac{|2|}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$. 综上所述，圆心到直线的距离为 $\frac{2\sqrt{5}}{5}$。 故选：(B)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的方程、点到直线距离公式。
2. 核心方法：利用与两坐标轴相切设圆心为 $(r,r)$ 简化方程。
3. 避坑指南：解二次方程得到两个 $r$ 值时，需分别代入验证或计算距离，有时可能其中一个不合题意（本题中两个圆心到该直线的距离恰好相等）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考圆的方程综合应用基础题。
2. 结论推广：与坐标轴相切的圆，其圆心根据所在象限可设为 $(\pm r,\pm r)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷理-11 单-抛物线定义
• 1993-旧高考理-27
• 1997-全国卷理-25 解-由条件求圆的方程