2020-全国卷II文-09 单-基本不等式

本题导读

本题考查双曲线的渐近线与几何性质，以及三角形面积公式。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷II(文)）设 $O$ 为坐标原点, 直线 $x=a$ 与双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的两条渐近线分别交于 $D,E$ 两点. 若 $△ODE$ 的面积为 $8$, 则 $C$ 的焦距的最小值为 ( )

A. 4　　　　　　　B. 8　　　　　　　C. 16　　　　　　　D. 32

🔍【思路分析】

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1. 写出双曲线的渐近线方程，并求出直线 $x=a$ 与渐近线的交点 $D,E$ 的坐标。
2. 利用三角形面积公式表示出 $△ODE$ 的面积，建立 $a,b$ 的等量关系。
3. 结合基本不等式求出焦距 $2c$ 的最小值。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$. 当 $x=a$ 时，代入渐近线方程得 $y=\pm b$， 故交点坐标为 $D(a,b)$ 和 $E(a,-b)$。 线段 $DE$ 的长度 $|DE|=b-(-b)=2b$. $△ODE$ 是以 $DE$ 为底，高为 $a$ 的三角形，其面积为： $S_{△ODE}=\frac{1}{2}\times |DE|\times a=\frac{1}{2}\times 2b\times a=ab$. 已知 $△ODE$ 的面积为 $8$，即 $ab=8⟹b=\frac{8}{a}$. 双曲线的焦距为 $2c=2\sqrt{a^2+b^2}$. 代入 $b=\frac{8}{a}$ 得： $2c=2\sqrt{a^2+\frac{64}{a^2}}$. 根据基本不等式： $a^2+\frac{64}{a^2}\ge 2\sqrt{a^2\cdot \frac{64}{a^2}}=2\times 8=16$. 当且仅当 $a^2=\frac{64}{a^2}⟹a=2$ 时取等号。 因此，焦距的最小值为 $2\sqrt{16}=2\times 4=8$. 故选：(B)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线渐近线、三角形面积、基本不等式求最值。
2. 核心方法：准确表示交点坐标，利用基本不等式求 $a^2+b^2$ 的最小值。
3. 避坑指南：注意焦距是 $2c$ 而不是 $c$，求出 $c$ 后切勿漏乘 2。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考圆锥曲线几何性质常考题。
2. 结论推广: 双曲线渐近线与垂直于实轴的直线相交构成的特征三角形面积常用于建立 $ab$ 关系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 1994-全国卷理-08
• 2009-上海卷理-09
• 2011-山东卷理-22