2020-全国卷II文-11 单-点到平面距离

本题导读

本题考查球的表面积与截面性质，以及正三角形的外接圆半径。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷II(文)）已知 $△ABC$ 是面积为 $\frac{9\sqrt{3}}{4}$ 的等边三角形, 且其顶点都在球 $O$ 的球面上. 若球 $O$ 的表面积为 $16\pi$, 则 $O$ 到平面 $ABC$ 的距离为 ( )

A. $\sqrt{3}$　　　　　　　B. $\frac{3}{2}$　　　　　　　C. 1　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据球的表面积为 $16\pi$ 求出球半径 $R$。
2. 根据等边三角形面积求出边长，进而求出 $△ABC$ 的外接圆半径 $r$。
3. 利用球心到平面距离 $d$、球半径 $R$、外接圆半径 $r$ 构成的直角三角形，由勾股定理求出 $d$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设球 $O$ 的半径为 $R$. 由球表面积 $S=4\pi R^2=16\pi ⟹R^2=4⟹R=2$. 设等边三角形 $△ABC$ 的边长为 $a$. 由面积公式 $S_{△ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=\frac{9\sqrt{3}}{4}⟹a^2=9⟹a=3$. 等边三角形的外接圆半径 $r$ 为： $r=\frac{\sqrt{3}}{3}a=\frac{\sqrt{3}}{3}\times 3=\sqrt{3}$. 设球心 $O$ 到平面 $ABC$ 的距离为 $d$. 在由球半径 $R$、外接圆半径 $r$、球心距 $d$ 构成的直角三角形中： $R^2=d^2+r^2$ $2^2=d^2+(\sqrt{3}{)}^2$ $4=d^2+3⟹d^2=1⟹d=1$. 因此，$O$ 到平面 $ABC$ 的距离为 $1$. 故选：(C)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：球的截面性质、正三角形外接圆半径、点到平面距离。
2. 核心方法：构建“球半径 $R$、截面半径 $r$、球心距 $d$”的直角三角形利用勾股定理求解。
3. 避坑指南：等边三角形外接圆半径为 $r=\frac{\sqrt{3}}{3}a$, 切勿误用内切圆半径。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考立体几何中球的截面经典题。
2. 结论推广: 球面上多边形外接圆圆心与球心连线垂直于多边形所在平面。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 1990-上海卷-26 解-二面角的度数
• 1991-全国卷理-23
• 1994-全国卷理-13