2020-全国卷II文-12 单-对数不等式

本题导读

本题考查指数函数的单调性，以及不等式的构造与对数性质。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷II(文)）若 $2^x-2^y<3^{-x}-3^{-y}$, 则 ( )

A. $\ln (y-x+1)>0$　　　　　　　　　　　　B. $\ln (y-x+1)<0$

C. $\ln |x-y|>0$　　　　　　　　　　　　　　D. $\ln |x-y|<0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将不等式 $2^x-2^y<3^{-x}-3^{-y}$ 移项变形，将含 $x$ 的项移到一边，含 $y$ 的项移到另一边。
2. 构造函数 $f(t)=2^t+3^{-t}$，分析其单调性。
3. 利用函数的单调性比较 $x$ 与 $y$ 的大小关系，进而代入选项检验。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

原不等式 $2^x-2^y<3^{-x}-3^{-y}$ 可变形为： $2^x+3^{-x}<2^y+3^{-y}$. 构造函数 $f(t)=2^t+3^{-t}$. 因为 $f(t)$ 是增函数（$2^t$ 单调递增，$3^{-t}={\left(\frac{1}{3}\right)}^t$ 单调递减，两者相加仍为增函数）， 由 $f(x)<f(y)$ 可直接推知： $x<y⟹y-x>0$. 检验各选项： 对于 (A)：$\ln (y-x+1)$. 因为 $y-x>0⟹y-x+1>1$，所以 $\ln (y-x+1)>0$，故 (A) 正确； 对于 (B)：$\ln (y-x+1)<0$，错误； 对于 (C)(D)：$\ln |x-y|$. 因为 $x<y$，无法确定 $|x-y|$ 是否大于 1，故无法断定其大于 0 还是小于 0。 故选：(A)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：指数函数单调性、构造函数法、对数符号判定。
2. 核心方法：移项同构构造单调函数。
3. 避坑指南：构造函数时需保证同构性（即两侧表达式形式完全一致）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考函数与不等式压轴选择题。
2. 结论推广: 形如 $f(x)<f(y)$ 的不等式，常通过构造单调函数转化为自变量的大小比较。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1983-全国卷理-05
• 1990-全国卷理-26 解-对数函数与不等式
• 1991-全国卷理-17