2020-全国卷II文-13 填-同角三角函数

本题导读

本题考查二倍角的余弦公式，以及同角三角函数基本关系。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷II(文)）若 $\sin x=-\frac{2}{3}$, 则 $\cos 2x=$ _____.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察目标式 $\cos 2x$ 与已知条件 $\sin x=-\frac{2}{3}$ 之间的联系。
2. 选择合适的二倍角余弦公式：$\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$ 进行整体代入计算。

✅【答案】

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$\frac{1}{9}$

✍【详细解析】

Abstract

根据二倍角的余弦公式： $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$. 将 $\sin x=-\frac{2}{3}$ 代入公式中： $\cos 2x=1-2{\left(-\frac{2}{3}\right)}^2=1-2\times \frac{4}{9}=1-\frac{8}{9}=\frac{1}{9}$. 故答案为：$\frac{1}{9}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二倍角余弦公式。
2. 核心方法：选用不依赖 $\cos x$ 的二倍角公式 $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$ 简化运算。
3. 避坑指南：注意负数平方后的正负号处理，避免平方计算失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考三角函数恒等变换基础送分题。
2. 结论推广：熟练掌握 $\cos 2x$ 的三种表达形式（含正弦、含余弦、含正切）是解决此类问题的关键。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1977-北京理-04
• 1979-全国卷理-02