2020-全国卷II文-15 填-线性规划

本题导读

本题考查线性规划，以及目标函数的最值。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷II(文)）若 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x+y\ge -1,\\ x-y\ge -1,\\ 2x-y\le 1,\end{array}$ 则 $z=x+2y$ 的最大值是_____.

🔍【思路分析】

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1. 在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的闭合平面区域（可行域）。
2. 求出可行域的各个顶点坐标。
3. 将顶点坐标依次代入目标函数 $z=x+2y$ 中，比较大小得出最大值。

✅【答案】

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$8$

✍【详细解析】

Abstract

画出约束条件 $\{\begin{array}{l}x+y\ge -1\\ x-y\ge -1\\ 2x-y\le 1\end{array}$ 对应的可行域。 通过联立边界直线方程求出可行域的三个顶点：

• 由 $\{\begin{array}{l}x+y=-1\\ x-y=-1\end{array}$ 解得交点 $A(-1,0)$；
• 由 $\{\begin{array}{l}x-y=-1\\ 2x-y=1\end{array}$ 解得交点 $B(2,3)$；
• 由 $\{\begin{array}{l}x+y=-1\\ 2x-y=1\end{array}$ 相加得 $3x=0⟹x=0,y=-1$，解得交点 $C(0,-1)$. 将各顶点坐标依次代入目标函数 $z=x+2y$：
• 在点 $A(-1,0)$ 处：$z=-1+2(0)=-1$；
• 在点 $B(2,3)$ 处：$z=2+2(3)=8$；
• 在点 $C(0,-1)$ 处：$z=0+2(-1)=-2$. 对比可知，目标函数的最大值为 $8$。 故答案为：$8$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：简单线性规划、求最值。
2. 核心方法：准确作图、求交点坐标、顶点代入检验。
3. 避坑指南：求交点时注意方程组联立的准确性，防止因计算错误导致顶点坐标偏移。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考线性规划常规必考题。
2. 结论推广: 线性目标函数的最值在有界可行域的顶点处取得。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2006-北京文-14 填-线性规划距离最值
• 2005-全国卷I文-09 单-线性规划区域面积
• 2000-上海文-11 填-线性规划最值点