2020-全国卷II文-18 解-统计综合

本题导读

本题考查样本估计总体。核心在于公式代入法、统计推断与决策的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷II(文)）18. 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加。为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的 200 个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 20 个作为样区，调查得到样本数据 $(x_i,y_i)(i=1,2,\dots ,20)$，其中 $x_i$ 和 $y_i$ 分别表示第 $i$ 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得： ${\sum }_{i=1}^{20}{x}_i=60$，${\sum }_{i=1}^{20}{y}_i=1200$，${\sum }_{i=1}^{20}(x_i-\bar{x}{)}^2=80$，${\sum }_{i=1}^{20}(y_i-\bar{y}{)}^2=9000$，${\sum }_{i=1}^{20}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=800$。

（1）求该地区这种野生动物数量的估计值；

（2）求样本相关系数 $r$（精确到 0.01）；

（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大。为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由。

附： 相关系数 $r=\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2{\sum }_{i=1}^n(y_i-\bar{y}{)}^2}}$，$\sqrt{2}\approx 1.414$。

🔍【思路分析】

破题导航

（1）估计总体数量：

• 关键点：总体估计值 = 样区平均数 $\times$ 总地块数。
• 先求出样本均值 $\bar{y}$。

（2）计算相关系数 $r$：

• 关键点：直接套用题目给出的附件公式。

• 注意计算：分母是两个平方和乘积的平方根，计算过程中可以先约分简化。

（3）优化抽样方法：

• 关键点：题目提到“差异很大”。
• 逻辑推导：当总体由差异明显的几部分组成时，分层抽样（Stratified Sampling）比简单随机抽样更具代表性。理由应结合植物覆盖面积对动物数量的影响。

✅【答案】

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采用分层抽样（理由见解析）

✍【详细解析】

Abstract

（1）求该地区这种野生动物数量的估计值 由题意，20 个样区的野生动物总数量为 ${\sum }_{i=1}^{20}{y}_i=1200$。 样本平均数 $\bar{y}=\frac{1200}{20}=60$。 该地区共有 200 个地块， 则该地区这种野生动物数量的估计值为 $200\times 60=12000$。

（2）求样本相关系数 $r$ 将已知数据代入公式： $r=\frac{800}{\sqrt{80\times 9000}}=\frac{800}{\sqrt{720000}}=\frac{800}{600\sqrt{2}}=\frac{4}{3\sqrt{2}}$ $r=\frac{4\sqrt{2}}{3\times 2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$ 代入 $\sqrt{2}\approx 1.414$： $r\approx \frac{2\times 1.414}{3}=\frac{2.828}{3}\approx \mathrm{0.9426...}$ 精确到 0.01，得 $r\approx 0.94$。

（3）更合理的抽样方法及理由 更合理的抽样方法：分层抽样。 理由：

1. 数据特征： 现有统计资料表明各地块间植物覆盖面积差异很大，且由（2）可知，植物覆盖面积与野生动物数量具有极强的正相关性（$r=0.94$）。
2. 代表性： 简单随机抽样可能会导致抽取的样本集中在某一种覆盖水平的地块中。采用分层抽样可以按植物覆盖面积的大小进行分层（如高、中、低覆盖度），在各层内按比例随机抽取地块。
3. 准确性： 这样能使样本结构与总体结构更接近，从而提高估计的准确性。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 均值与总量的关系： 总体估计值 = $N\bar{x}$ 是统计学中最基本的估计量。
• 相关系数的意义： $|r|$ 越接近 1，相关性越强。本题 $0.94$ 说明植物覆盖率是影响动物数量的决定性因素。
• 分层抽样的适用场景： 只要题目中出现“差异显著”、“明显分成几类”等字眼，分层抽样几乎就是标准答案。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 24.01回归分析与线性拟合
• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷理-03 单-分层抽样
• 2003-江苏卷-14
• 2010-安徽卷文-14 填-分层抽样加权估计