本题导读
本题考查空间中直线与平面的平行与垂直。核心在于向量法与几何法结合、拟柱体与锥体体积公式的灵活运用。
📌【题干】
Question
（2020年全国卷II(文)）如图, 已知三棱柱 的底面是正三角形, 侧面 是矩形, 分别为 的中点, 为 上一点. 过 和 的平面交 于 , 交 于 .
(1) 证明: , 且平面 平面 ;
(2) 设 为 的中心, 若 , 平面 , 且 , 求四棱锥 的体积.
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🔍【思路分析】
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- 第(1)问：利用矩形及中线性质证明四边形 为平行四边形以得线线平行；通过证明 平面 证明面面垂直。
- 第(2)问：建立空间直角坐标系，利用 平面 确定点 的位置，结合解三角形求出棱柱的高与参数，最后利用棱锥体积公式计算求解。
✅【答案】
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✍【详细解析】
Abstract
(1) 证明： 因为三棱柱 中，侧面 是矩形， 所以 且 ，且 ，. 因为 分别为 的中点，且 ， 所以 且 ，从而 且 ， 故四边形 是平行四边形，即 . 由 可知 ，又 为正三角形 的底边中点，故 . 因为平面 过 且与底面交线为 ，所以 . 由此可得 且 ， 因为 ，所以 平面 . 又因为 平面 ， 所以平面 平面 .
(2) 解： 以 为坐标原点，直线 为 轴，直线 为 轴建立空间直角坐标系。 设 ，则 ，，. 设 ，则 ， 为 的中心，可求得 . 由 及 平面 （其交平面 的迹线为 ），可得 . 结合 及余弦定理，解得 . 由点 到平面 的距离 与梯形 的面积 计算四棱锥 的体积： .
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：线面垂直、面面垂直判定、空间向量应用、锥体体积。
- 核心方法：建系转化法，利用向量平行与垂直简化几何关系。
- 避坑指南：斜三棱柱中侧棱不一定垂直于底面，需严格利用已知矩形条件确定垂直关系。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：高考立体几何解答题压轴题，综合性强。
- 结论推广：含有平行平面的截面多面体体积常转化为点到平面的距离与截面面积的乘积。
🔗【关联脉络】
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