2020-全国卷II理-02 单-二倍角公式

本题导读

本题考查象限角的定义，以及各象限三角函数符号。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷II(理)）2. 若 $\alpha$ 为第四象限角，则（ ）

A. $\cos 2\alpha >0$　　　　　B. $\cos 2\alpha <0$　　　　　C. $\sin 2\alpha >0$　　　　　D. $\sin 2\alpha <0$

🔍【思路分析】

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方法一：二倍角公式符号法（推荐）

1. 确定 $\alpha$ 的正负： $\alpha$ 在第四象限 $⟹\sin \alpha <0$，$\cos \alpha >0$。
2. 判定 $\sin 2\alpha$： 根据 $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$，正负号相乘必为负。
3. 判定 $\cos 2\alpha$： 根据 $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$，其正负取决于 $\alpha$ 靠近轴的程度（即 $|\cos \alpha |$ 与 $|\sin \alpha |$ 的大小比较），无法直接确定。

方法二：角度范围法

1. 范围表达： $\alpha \in (2k\pi +\frac{3\pi }{2},2k\pi +2\pi )$。
2. 范围翻倍： $2\alpha \in (4k\pi +3\pi ,4k\pi +4\pi )$。
3. 判定象限： $2\alpha$ 落在第三或第四象限，这两处正弦值均为负。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D

【解析过程】

1. 分析 $\sin 2\alpha$： 因为 $\alpha$ 是第四象限角，所以 $\sin \alpha <0$ 且 $\cos \alpha >0$。 根据二倍角公式：$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$。 由于“正 $\times$ 负 = 负”，所以 $\sin 2\alpha <0$。 由此判定 C 错误，D 正确。

2. 分析 $\cos 2\alpha$（验证排除）： 利用特殊值法：

• 若 $\alpha =-\frac{\pi }{6}$（即 $330^{\circ }$），则 $2\alpha =-\frac{\pi }{3}$，$\cos (-\frac{\pi }{3})=\frac{1}{2}>0$，排除 B。
• 若 $\alpha =-\frac{\pi }{3}$（即 $300^{\circ }$），则 $2\alpha =-\frac{2\pi }{3}$，$\cos (-\frac{2\pi }{3})=-\frac{1}{2}<0$，排除 A。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 三角函数符号口诀： “一全正，二正弦，三切值，四余弦”。
• 二倍角的影响： 一个角所在的象限确定后，其二倍角所在的象限通常会有两种可能性（本题中 $2\alpha$ 可能在三、四象限或轴上）。
• 选择题技巧： 当发现 $\sin 2\alpha$ 的符号是唯一确定的，而 $\cos 2\alpha$ 依赖于具体数值时，应果断锁定关于 $\sin 2\alpha$ 的选项。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果题目问的是 “$\alpha$ 是第四象限角，则 $\frac{\alpha }{2}$ 所在的象限”，则需要使用“半角划分法”：将每个象限平分为二，第四象限对应的半角区域落在第二和第四象限。这种“倍角”与“半角”的范围判定是高考三角函数部分的常考点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 1977-河北卷-03
• 1978-全国卷-06