2020-全国卷II理-10 单-球的截面

本题导读

本题考查球的表面积公式，以及等边三角形的性质与面积公式。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷II(理)）10. 已知 $△ABC$ 是面积为 $\frac{9\sqrt{3}}{4}$ 的等边三角形，且其顶点都在球 $O$ 的球面上。若球 $O$ 的表面积为 $16\pi$，则 $O$ 到平面 $ABC$ 的距离为（ ）

A. $\sqrt{3}$　　　　　　　B. $\frac{3}{2}$　　　　　　　C. 1　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求球的半径 $R$：

• 利用球表面积公式 $S=4\pi R^2$，由 $16\pi$ 反求 $R$。

2. 求 $△ABC$ 外接圆半径 $r$：

• 先由等边三角形面积公式 $S=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$ 求出边长 $a$。

• 再由正弦定理 $r=\frac{a}{2\sin 60^{\circ }}$ 或几何构造（重心性质）求出其外接圆半径 $r$。

3. 利用空间勾股定理求距离 $d$：

• 球心 $O$、截面圆圆心（即 $△ABC$ 的中心）与三角形顶点构成直角三角形。

• 关系式：$d=\sqrt{R^2-r^2}$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C

【解析过程】

1. 计算球半径 $R$：

因为 $4\pi R^2=16\pi$，所以 $R^2=4$，得 $R=2$。

2. 计算截面圆半径 $r$：

设等边 $△ABC$ 的边长为 $a$。

由 $S_{△ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=\frac{9\sqrt{3}}{4}$，解得 $a^2=9$，即 $a=3$。

根据等边三角形外接圆半径公式：

$r=\frac{a}{2\sin 60^{\circ }}=\frac{3}{2\times \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$

3. 计算球心到平面的距离 $d$：

在直角三角形中，$d=\sqrt{R^2-r^2}$：

$d=\sqrt{2^2-(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{4-3}=1$

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心模型： 球心、截面圆心、截面圆周上任一点构成直角三角形。这是解决球类切拼问题的“黄金三角”。

• 等边三角形常数：

• 边长为 $a$ 时，高 $h=\frac{\sqrt{3}}{2}a$。

• 外接圆半径 $r=\frac{2}{3}h=\frac{\sqrt{3}}{3}a$。

• 内切圆半径 $r_{in}=\frac{1}{3}h=\frac{\sqrt{3}}{6}a$。

• 计算量控制： 全国 II 卷的题目通常计算量适中，如果求出的 $r>R$，说明计算过程有误，需立即回查。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果题目变为“已知三棱锥 $P-ABC$ 是正四面体”，那么球 $O$ 就是该四面体的外接球。此时球心到平面的距离 $d$ 加上球半径 $R$ 有可能等于棱锥的高 $H$（取决于球心在棱锥内部还是外部）。掌握正多面体外接球半径公式（如正四面体 $R=\frac{\sqrt{6}}{4}a$）在应对更难的填空压轴题时会非常有优势。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷理-16 填-球表面积

• 2005-全国卷I理-03 单-球的截面圆性质

• 2009-大纲卷I文-15 填-球的截面