2020-全国卷II理-11 单-不等式性质

本题导读

本题考查指数函数的单调性，以及构造函数法。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷II(理)）11. 若 $2^x-2^y<3^{-x}-3^{-y}$，则（ ）

A. $\ln (y-x+1)>0$　B. $\ln (y-x+1)<0$　C. $\ln |x-y|>0$　D. $\ln |x-y|<0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 移项同构：

• 观察不等式 $2^x-2^y<3^{-x}-3^{-y}$。
• 将含有 $x$ 的项移到左边，含有 $y$ 的项移到右边： $2^x-3^{-x}<2^y-3^{-y}$

2. 构造函数并判定单调性：

• 设 $f(t)=2^t-3^{-t}$。

• 分析 $f(t)$ 的组成：

  • $y_1=2^t$ 是 $R$ 上的增函数；
  • $y_2=3^{-t}=(\frac{1}{3}{)}^t$ 是 $R$ 上的减函数。

• 根据“增函数 - 减函数 = 增函数”的结论，可知 $f(t)$ 在 $R$ 上是单调递增的。

3. 推导变量关系：

• 由 $f(x)<f(y)$ 且 $f(t)$ 单调递增，得 $x<y$。

4. 验证选项：

• 由 $x<y⟹y-x>0$。
• 则 $y-x+1>1$。
• 根据对数函数 $y=\ln u$ 在 $u>1$ 时 $y>0$ 的性质，判定选项。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A

【解析过程】

1. 构造函数： 将已知不等式 $2^x-2^y<3^{-x}-3^{-y}$ 变形为： $2^x-3^{-x}<2^y-3^{-y}$ 令 $f(t)=2^t-3^{-t}$。

2. 判断单调性： 因为 $y=2^t$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，$y=3^{-t}$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递减， 所以 $f(t)=2^t-3^{-t}$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增。

3. 确定变量大小： 由 $f(x)<f(y)$ 知 $x<y$，即 $y-x>0$。

4. 分析选项：

• 对于 A、B： 因为 $y-x>0$，所以 $y-x+1>1$。 则 $\ln (y-x+1)>\ln 1=0$。故 A 正确，B 错误。
• 对于 C、D： 虽然已知 $x\ne y$，但 $|x-y|$ 与 1 的大小关系不确定（例如可能是 0.5 也可能是 2），因此 $\ln |x-y|$ 的正负无法确定。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 同构思维： 这是解决指对混合问题的“第一本能”。看到 $g(x)<g(y)$ 的结构，一定要去构造 $f(t)$。
• 增减性的组合规律： - 增 + 增 = 增
  • 减 + 减 = 减
  • 增 - 减 = 增
  • 减 - 增 = 减
• 对数比较基准： $\ln A$ 的正负取决于 $A$ 与 1 的大小关系。$A>1⟹\ln A>0$；$0<A<1⟹\ln A<0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果题目变为 $2^x+3^x<2^y+3^y$，同样可以构造 $f(t)=2^t+3^t$。这类题目在高考中也可能以导数压轴题的形式出现，要求证明某个复杂的 $f(x_1)=f(x_2)$ 关系，此时通常涉及“极值点偏移”等更高阶的技巧。但在选择题中，找准函数结构就是胜利。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 18.13 同构方程

类题演练 (Links)

• 1993-新高考理-10
• 1997-全国卷理-13 单-奇偶函数与单调性的不等式
• 2004-辽宁卷-02 单-指数函数的单调性