2020-全国卷II理-12 单-周期函数求和

本题导读

本题考查数列的新定义。核心在于验证法 (排除法)、具象化分析的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷II(理)）12. 0-1 周期序列在通信技术中有着重要应用。若序列 $a_{1} a_{2} \dots a_{n} \dots$ 满足 $a_{i} \in {0, 1} (i = 1, 2, \dots)$ ，且存在正整数 $m$ ，使得 $a_{i + m} = a_{i} (i = 1, 2, \dots)$ 成立，则称其为 0-1 周期序列，并称满足 $a_{i + m} = a_{i}$ 的最小正整数 $m$ 为这个序列的周期。对于周期为 $m$ 的 0-1 序列 $a_{1} a_{2} \dots a_{n} \dots$ ， $C (k) = \frac{1}{m} \sum_{i = 1}^{m} a_{i} a_{i + k} (k = 1, 2, \dots, m - 1)$ 是描述其性质的重要指标。下列周期为 5 的 0-1 序列中，满足 $C (k) \leq \frac{1}{5} (k = 1, 2, 3, 4)$ 的序列是（）

A. $11010 \dots$ 　　　　B. $11011 \dots$ 　　　　C. $10001 \dots$ 　　　　D. $11001 \dots$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解定义：

周期 $m = 5$ ：意味着 $a_{6} = a_{1}, a_{7} = a_{2} \dots$ 以此类推。

指标 $C (k)$ ：是将原序列与向后平移 $k$ 位后的序列对应项相乘再求平均。

判定标准：对于 $k = 1, 2, 3, 4$ ，分子部分 $\sum_{i = 1}^{5} a_{i} a_{i + k}$ 必须 $\leq 1$ （因为分母是 5）。

2. 核心技巧：循环移位比较 由于只有 $1 \times 1 = 1$ ，其余情况（ $1 \times 0, 0 \times 1, 0 \times 0$ ）均为 0，所以求和的结果本质上是原序列与平移 $k$ 位后的序列中，对应位置同时为 1 的个数。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C

【解析过程】 已知 $m = 5$ ，条件 $C (k) \leq \frac{1}{5}$ 等价于：在五个连续项中， $a_{i}$ 与 $a_{i + k}$ 同时为 1 的次数不超过 1 次。

验证 A： $1, 1, 0, 1, 0$ 当 $k = 2$ 时，计算 $\sum a_{i} a_{i + 2}$ ： $(a_{1} a_{3} + a_{2} a_{4} + a_{3} a_{5} + a_{4} a_{1} + a_{5} a_{2}) = (1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1) = 2$ 。 $C (2) = 2/5 > 1/5$ ，排除。

验证 B： $1, 1, 0, 1, 1$ 当 $k = 1$ 时，计算 $\sum a_{i} a_{i + 1}$ ： $(1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1) = 3$ 。 $C (1) = 3/5 > 1/5$ ，排除。

验证 D： $1, 1, 0, 0, 1$ 当 $k = 1$ 时，计算 $\sum a_{i} a_{i + 1}$ ： $(1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1) = 2$ 。 $C (1) = 2/5 > 1/5$ ，排除。

验证 C： $1, 0, 0, 0, 1$ 该序列中只有 $a_{1} = 1, a_{5} = 1$ 。

$k = 1$ : $(a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} + a_{3} a_{4} + a_{4} a_{5} + a_{5} a_{1}) = (0 + 0 + 0 + 0 + 1) = 1 \leq 1$

$k = 2$ : $(a_{1} a_{3} + a_{2} a_{4} + a_{3} a_{5} + a_{4} a_{1} + a_{5} a_{2}) = (0 + 0 + 0 + 0 + 0) = 0 \leq 1$

$k = 3$ : 同样对称，结果 $\leq 1$

$k = 4$ : 同样对称，结果 $\leq 1$ 符合题意。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

新定义的拆解： 不要被 $\sum$ 吓到。在 0-1 序列中，乘积和就是“重合 1”的计数。

周期性的完整处理： 计算 $a_{i + k}$ 时，如果下标超过 5，记得减去 5。例如 $a_{6}$ 就是 $a_{1}$ 。

压轴题的心态： 第 12 题通常不需要复杂的公式推导，更多是考查逻辑的周密性。通过简单的列举（10001 这种 1 非常稀疏的序列）往往能直觉感受到它更容易满足 $C (k)$ 小的条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

在实际通信中，这种 $C (k)$ 指标被称为自相关系数。理想的周期序列（如 M 序列）具有很好的伪随机性，其自相关函数在 $k \neq = 0$ 时非常小。本题的 C 选项就是一个典型的“稀疏脉冲”序列。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

2013-湖南卷文-15 填-特征数列

2008-上海卷文-21 解-双周期数列交错求和

2009-江西卷理-08

∑ ( Math )

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