2020-全国卷III文-08 单-点到直线距离

本题导读

本题考查直线系方程，以及点到直线的距离最值。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷III(文)）点 $(0,-1)$ 到直线 $y=k(x+1)$ 距离的最大值为 ( )

A. $1$　　　　　　　B. $\sqrt{2}$　　　　　　　C. $\sqrt{3}$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

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1. 将直线方程化为含参数 $k$ 的直线系方程，求出其恒过的定点。
2. 利用几何直观，点到动直线的距离最大值等于定点到该点的距离。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

将直线方程 $y=k(x+1)$ 变形为 $k(x+1)-y=0$， 令 $\{\begin{array}{l}x+1=0\\ -y=0\end{array}$，解得定点 $P(-1,0)$。 设已知点为 $A(0,-1)$。 当直线垂直于过点 $A$ 和定点 $P$ 的连线时，点 $A$ 到该直线的距离最大， 最大距离即为两点 $A(0,-1)$ 与 $P(-1,0)$ 之间的距离。 计算距离 $AP=\sqrt{(0-(-1){)}^2+(-1-0{)}^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$。 故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线过定点、点到直线距离的最值。
2. 核心方法：转化为两点间距离。
3. 避坑指南：熟练掌握直线系求定点的方法。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 2020年高考数学全国卷III文科第8题。
2. 结论推广: 过定点的动直线到某点距离的最大值为该点到定点的距离。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 1977-北京理-05
• 1990-上海卷-03 填-直线的方程
• 1993-旧高考理-19