2020-全国卷III文-11 单-解三角形

本题导读

本题考查余弦定理，以及正弦定理或同角三角函数基本关系。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷III(文)）在 $△ABC$ 中，$\cos C=\frac{2}{3}$，$AC=4$，$BC=3$，则 $\tan B=$ ( )

A. $\sqrt{5}$　　　　　　　B. $2\sqrt{5}$　　　　　　　C. $4\sqrt{5}$　　　　　　　D. $8\sqrt{5}$

🔍【思路分析】

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1. 在 $△ABC$ 中，已知两边及夹角的余弦值，利用余弦定理求出第三边 $AB$。
2. 再利用余弦定理求出 $\cos B$，进而求出 $\sin B$，最后求出 $\tan B$（或利用正弦定理）。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$。 由题意知 $b=AC=4$，$a=BC=3$，$\cos C=\frac{2}{3}$。 根据余弦定理：$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$， 代入数据得：$c^2=3^2+4^2-2\times 3\times 4\times \frac{2}{3}=9+16-16=9$， 解得 $c=AB=3$（此时 $△ABC$ 为腰长为 3 的等腰三角形）。 接着在 $△ABC$ 中求 $\cos B$： 由余弦定理：$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$， 代入数据：$4^2=3^2+3^2-2\times 3\times 3\cos B$， $16=18-18\cos B⟹18\cos B=2⟹\cos B=\frac{1}{9}$。 因为 $B$ 为三角形的内角，且 $\cos B>0$， 所以 $\sin B=\sqrt{1-{\cos }^{2}B}=\sqrt{1-{\left(\frac{1}{9}\right)}^2}=\sqrt{\frac{80}{81}}=\frac{4\sqrt{5}}{9}$。 则 $\tan B=\frac{\sin B}{\cos B}=\frac{\frac{4\sqrt{5}}{9}}{\frac{1}{9}}=4\sqrt{5}$。 故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正余弦定理的应用。
2. 核心方法：边角互化。
3. 避坑指南：计算边长时要仔细，注意三角形形状的特殊性（等腰三角形）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 2020年高考数学全国卷III文科第11题。
2. 结论推广: 熟练掌握解三角形中的边角转换关系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷文-17 解-解三角形
• 2008-大纲卷I文-17 解-解三角形求边周长
• 2008-浙江卷文-14 填-余弦定理求角