2020-全国卷III文-14 填-双曲线离心率

本题导读

本题考查双曲线的渐近线，以及双曲线的离心率。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷III(文)）设双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的一条渐近线为 $y=\sqrt{2}x$，则 $C$ 的离心率为________.

🔍【思路分析】

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1. 根据双曲线标准方程写出其渐近线方程。
2. 结合已知渐近线斜率求出 $b$ 与 $a$ 的关系，再利用离心率公式 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$ 求解。

✅【答案】

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$\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。 已知其中一条渐近线为 $y=\sqrt{2}x$， 故 $\frac{b}{a}=\sqrt{2}$，即 $b^2=2a^2$。 双曲线的离心率为 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1+2}=\sqrt{3}$。 故答案为：$\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线的渐近线、离心率。
2. 核心方法：参数关系代入法。
3. 避坑指南：注意区分焦点在 $x$ 轴与 $y$ 轴时双曲线渐近线方程的形式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 2020年高考数学全国卷III文科第14题。
2. 结论推广: 熟练掌握 $a,b,c,e$ 之间的内在联系。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-14 填-双曲线离心率
• 2008-浙江卷文-08 单-双曲线离心率
• 2013-江苏卷-03 填-渐近线