2020-全国卷III文-20 解-导数综合

本题导读

本题考查导数与函数的单调性。核心在于导数符号判断法与数形结合法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷III(文)）已知函数 $f(x)=x^3-kx+k^2$.

(1) 讨论 $f(x)$ 的单调性；

(2) 若 $f(x)$ 有三个零点，求 $k$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：求导数 $f^{\prime }(x)=3x^2-k$，对参数 $k$ 进行分类讨论（$k\le 0$ 与 $k>0$），确定单调区间。
2. 第二问：若 $f(x)$ 有三个零点，说明导数的两个极值点异号，且极大值大于0、极小值小于0（即函数图象与 $x$ 轴有三个交点）。

✅【答案】

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$0<k<\frac{4}{27}$

✍【详细解析】

Abstract

函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，求导得： $f^{\prime }(x)=3x^2-k$.

(1) 讨论 $f(x)$ 的单调性： ① 当 $k\le 0$ 时，$f^{\prime }(x)=3x^2-k\ge 0$ 恒成立（当 $k=0,x=0$ 时导数为0）， 所以 $f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上单调递增； ② 当 $k>0$ 时，令 $f^{\prime }(x)=0$ 得 $x_1=-\sqrt{\frac{k}{3}}$，$x_2=\sqrt{\frac{k}{3}}$. 当 $x\in (-\infty ,-\sqrt{\frac{k}{3}})$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，函数单调递增； 当 $x\in (-\sqrt{\frac{k}{3}},\sqrt{\frac{k}{3}})$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，函数单调递减； 当 $x\in (\sqrt{\frac{k}{3}},+\infty )$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，函数单调递增. 综上所述：当 $k\le 0$ 时，$f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 单调递增；当 $k>0$ 时，$f(x)$ 在 $(-\infty ,-\sqrt{\frac{k}{3}})$ 和 $(\sqrt{\frac{k}{3}},+\infty )$ 单调递增，在 $(-\sqrt{\frac{k}{3}},\sqrt{\frac{k}{3}})$ 单调递减.

(2) 若 $f(x)$ 有三个零点： 由（1）可知，当 $k>0$ 时，$f(x)$ 在 $x=-\sqrt{\frac{k}{3}}$ 处取得极大值，在 $x=\sqrt{\frac{k}{3}}$ 处取得极小值. 要使 $f(x)$ 有三个零点，必须满足极大值大于0且极小值小于0，即： $\{\begin{array}{l}f\left(-\sqrt{\frac{k}{3}}\right)>0\\ f\left(\sqrt{\frac{k}{3}}\right)<0\end{array}$ 计算极大值： $f\left(-\sqrt{\frac{k}{3}}\right)={\left(-\sqrt{\frac{k}{3}}\right)}^3-k\left(-\sqrt{\frac{k}{3}}\right)+k^2=-\frac{k}{3}\sqrt{\frac{k}{3}}+k\sqrt{\frac{k}{3}}+k^2=\frac{2k}{3}\sqrt{\frac{k}{3}}+k^2$. 因为 $k>0$，所以 $\frac{2k}{3}\sqrt{\frac{k}{3}}+k^2>0$ 恒成立. 计算极小值： $f\left(\sqrt{\frac{k}{3}}\right)={\left(\sqrt{\frac{k}{3}}\right)}^3-k\left(\sqrt{\frac{k}{3}}\right)+k^2=\frac{k}{3}\sqrt{\frac{k}{3}}-k\sqrt{\frac{k}{3}}+k^2=-\frac{2k}{3}\sqrt{\frac{k}{3}}+k^2$. 令 $f\left(\sqrt{\frac{k}{3}}\right)<0$，即 $-\frac{2k}{3}\sqrt{\frac{k}{3}}+k^2<0$. 因为 $k>0$，两边同除以 $k$ 得： $-\frac{2}{3}\sqrt{\frac{k}{3}}+k<0⟹k<\frac{2}{3}\sqrt{\frac{k}{3}}$. 两边平方（因为两边均为正）： $k^2<\frac{4}{9}\cdot \frac{k}{3}=\frac{4}{27}k$. 因为 $k>0$，同除以 $k$ 得： $k<\frac{4}{27}$. 又因为前提条件 $k>0$， 所以 $k$ 的取值范围为 $0<k<\frac{4}{27}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数研究单调性、函数零点与极值的关系。
2. 核心方法：极值点代入法、不等式求解。
3. 避坑指南：切记讨论零点个数时，不仅要保证极小值小于0、极大值大于0，还要确保 $k>0$ 这一前提条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 2020年高考数学全国卷III文科第20题。
2. 结论推广: 三次函数零点问题转化为极值异号问题的一般处理模式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2010-浙江卷文-09 单-零点与函数符号
• 1987-全国卷理-05 单-函数的单调性
• 1991-全国卷理-13