2020-全国卷III文-23 解-不等式选讲

本题导读

本题考查代数恒等式变换。核心在于综合法、构造法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷III(文)）23. [选修 4—5：不等式选讲] 已知 $a,b,c\in \mathbb{R}$，$a+b+c=0$，$abc=1$。

（1）证明：$ab+bc+ca<0$；

（2）用 $\max \{a,b,c\}$ 表示 $a,b,c$ 中的最大值，证明：$\max \{a,b,c\}\ge \sqrt[3]{4}$。

🔍【思路分析】

破题导航

（1）利用平方和恒等式：

• 观察到 $(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$。
• 已知和为 0，则两两乘积之和可以表示为三个数平方和的负二分之一。
• 只要证明 $a,b,c$ 不全为 0 即可。

（2）逻辑推理与构造：

• 符号判定： $abc=1>0$ 说明三个数要么全正，要么一正两负。又 $a+b+c=0$，说明不可能全为正数。故必有一个正数，两个负数。
• 锁定最大值： 设 $a$ 为正数，即 $a=\max \{a,b,c\}$，则 $b,c<0$。
• 构造不等式： 目标是证 $a^3\ge 4$。利用 $b+c=-a$ 和 $bc=1/a$，将 $a^3$ 拆解为 $a^2\cdot a$，通过 $b,c$ 的关系利用均值不等式进行放缩。

✅【答案】

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$ab+bc+ca=-\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)<0$

✍【详细解析】

Abstract

（1）证明：$ab+bc+ca<0$ 证明：

1. 因为 $a+b+c=0$，对等式两边平方得： $(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=0$。
2. 移项整理得： $ab+bc+ca=-\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)$。
3. 因为 $abc=1$，所以 $a,b,c$ 均不为 0，故 $a^2+b^2+c^2>0$。
4. 所以 $ab+bc+ca=-\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)<0$。 证毕。

（2）证明：$\max \{a,b,c\}\ge \sqrt[3]{4}$ 证明：

1. 确定正负性： 由 $abc=1>0$ 知，$a,b,c$ 中正数的个数为 1 或 3。 若 $a,b,c$ 均为正数，则 $a+b+c>0$，与题设 $a+b+c=0$ 矛盾。 故 $a,b,c$ 中只有一个正数，另外两个为负数。 不妨设 $a=\max \{a,b,c\}$，则 $a>0$，$b<0$，$c<0$。

2. 利用均值不等式： 由 $b+c=-a$，两边平方得 $(b+c{)}^2=a^2$。 由 $bc=\frac{1}{a}$。 考虑表达式 $\frac{(b+c{)}^2}{bc}$： $\frac{(b+c{)}^2}{bc}=\frac{b^2+c^2+2bc}{bc}=\frac{b^2+c^2}{bc}+2$。 因为 $b,c<0$，所以 $bc>0$。根据均值不等式 $b^2+c^2\ge 2bc$： $\frac{(b+c{)}^2}{bc}\ge \frac{2bc}{bc}+2=4$。

3. 代换回 $a$： 将 $(b+c{)}^2=a^2$ 和 $bc=\frac{1}{a}$ 代入上式： $\frac{a^2}{1/a}\ge 4⟹a^3\ge 4$。 所以 $a\ge \sqrt[3]{4}$。 即 $\max \{a,b,c\}\ge \sqrt[3]{4}$。 证毕。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 方程思想： $a,b,c$ 实际上是方程 $x^3+(ab+bc+ca)x-1=0$ 的三个实根。
• 均值不等式的灵活变形： 在本题中，直接对 $a$ 使用 AM-GM 很难奏效，通过将其转化为关于两个负数 $b,c$ 的表达式，利用 $b^2+c^2\ge 2bc$ 是破题的关键。
• 符号判定的重要性： 很多同学在做第二问时直接上手写不等式，忽略了先证明“一正两负”的逻辑前提，在大题中这属于关键得分点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2013-湖南卷文-20 解-椭圆圆弦长最值
• 2013-福建卷文-07 单-指数和取值范围
• 2014-上海卷文-06 填-基本不等式