2020-全国卷III理-04 单-对数模型

本题导读

本题考查指数与对数的互化运算，以及对数运算法则。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷III(理)）4. Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域。有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 $I(t)$ ($t$ 的单位：天)的 Logistic 模型：$I(t)=\frac{K}{1+e^{-0.23(t-53)}}$，其中 $K$ 为最大确诊病例数。当 $I(t^{\ast })=0.95K$ 时，标志着已初步遏制疫情，则 $t^{\ast }$ 约为（ ）（$\ln 19\approx 3$）

A. 60　　　　　　　B. 63　　　　　　　C. 66　　　　　　　D. 69

🔍【思路分析】

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1. 建立等式： 根据题意 $I(t^{\ast })=0.95K$，代入模型公式： $\frac{K}{1+e^{-0.23(t^{\ast }-53)}}=0.95K$

2. 简化方程： 消去两边的 $K$，通过取倒数或交叉相乘，分离出含指数的项。

3. 指对互化： 利用 $\ln e^x=x$，将指数方程转化为线性方程。

4. 数值近似： 利用已知条件 $\ln 19\approx 3$ 进行估算。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C

【解析过程】

1. 列方程： $\frac{K}{1+e^{-0.23(t^{\ast }-53)}}=0.95K$ 由于 $K>0$，消去 $K$ 得： $\frac{1}{1+e^{-0.23(t^{\ast }-53)}}=0.95=\frac{19}{20}$

2. 变形求指数项： $1+e^{-0.23(t^{\ast }-53)}=\frac{20}{19}$ $e^{-0.23(t^{\ast }-53)}=\frac{20}{19}-1=\frac{1}{19}$

3. 两边取自然对数： $-0.23(t^{\ast }-53)=\ln (\frac{1}{19})=-\ln 19$ $0.23(t^{\ast }-53)=\ln 19$

4. 近似计算： 已知 $\ln 19\approx 3$： $0.23(t^{\ast }-53)\approx 3$ $t^{\ast }-53\approx \frac{3}{0.23}=\frac{300}{23}\approx 13.04$ $t^{\ast }\approx 53+13.04=66.04$

对照选项，最接近 66。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 对数运算的灵活性： 熟练掌握 $\ln (\frac{1}{a})=-\ln a$ 是简化计算的小技巧。
• 计算技巧： 在考场上，$\frac{300}{23}$ 的口算可以通过 $23\times 13=299$ 快速锁定。
• Logistic 模型的特点： 当 $t\to +\infty$ 时，$I(t)\to K$，这代表了环境容纳量（最大病例数）。当 $I(t)=0.5K$ 时，增长速度最快，而 $0.95K$ 意味着增长曲线已进入末尾平缓期。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果题目要求计算“确诊人数增长最快的时间点”，对应的是 Logistic 曲线的拐点，即分母中指数项为 0 的时刻（即 $t-53=0$），此时 $t=53$。这种对模型物理意义的理解有助于快速检查计算结果的合理性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1990-上海卷-14 单-等差等比数列判定
• 全国卷I理-11 单-对数运算
• 1977-天津-01(4)