2020-全国卷III理-10 单-导数切线

本题导读

本题考查导数的几何意义，以及直线与圆相切的条件。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷III(理)）10. 若直线 $l$ 与曲线 $y=\sqrt{x}$ 和 $x^2+y^2=\frac{1}{5}$ 都相切，则 $l$ 的方程为（ ）

A. $y=2x+1$　　　B. $y=2x+\frac{1}{2}$　　　C. $y=\frac{1}{2}x+1$　　　D. $y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 处理曲线 $y=\sqrt{x}$ 的切线：

• 设切点坐标为 $P(x_0,\sqrt{x_0})$，其中 $x_0>0$。

• 对 $y=x^{1/2}$ 求导得到 $y^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$。

• 切线斜率 $k=\frac{1}{2\sqrt{x_0}}$。

• 写出切线方程并化为一般式 $Ax+By+C=0$。

2. 处理圆 $x^2+y^2=\frac{1}{5}$ 的相切条件：

• 圆心为 $(0,0)$，半径 $r=\frac{1}{\sqrt{5}}$。
• 直线与圆相切 $⟺$ 圆心到直线的距离 $d=r$。
• 利用点到直线距离公式建立关于 $x_0$ 的方程。

3. 求解与验证：

• 解出 $x_0$ 后代回切线方程即可。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D

【解析过程】

1. 求曲线切线方程： 设直线 $l$ 与 $y=\sqrt{x}$ 相切于点 $(x_0,\sqrt{x_0})$。 由 $y^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ 知，斜率 $k=\frac{1}{2\sqrt{x_0}}$。 切线方程为：$y-\sqrt{x_0}=\frac{1}{2\sqrt{x_0}}(x-x_0)$。 整理得：$x-2\sqrt{x_0}y+x_0=0$。

2. 利用圆的相切条件： 圆 $x^2+y^2=\frac{1}{5}$ 的圆心为 $(0,0)$，半径 $r=\frac{\sqrt{5}}{5}$。 圆心到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{|0-0+x_0|}{\sqrt{1^2+(-2\sqrt{x_0}{)}^2}}=\frac{x_0}{\sqrt{1+4x_0}}$。 令 $d=r$： $\frac{x_0}{\sqrt{1+4x_0}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$ 两边平方：$\frac{x_0^2}{1+4x_0}=\frac{1}{5}⟹5x_0^2=4x_0+1$。 整理得：$5x_0^2-4x_0-1=0⟹(5x_0+1)(x_0-1)=0$。

3. 确定切线方程： 由于切点在 $y=\sqrt{x}$ 上，需 $x_0>0$，故取 $x_0=1$。 代入切线一般式 $x-2\sqrt{1}y+1=0⟹x-2y+1=0$。 化为斜截式：$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 导数的几何意义： 函数在某点处的导数值即为该点切线的斜率，这是连接函数与解析几何的桥梁。
• 直线与圆位置关系的判定： 优先使用“几何法”（$d=r$）而非“代数法”（联立方程令 $\Delta =0$），几何法计算量通常更小。
• 隐含条件： 在处理 $y=\sqrt{x}$ 时，切点的横坐标 $x_0$ 必须大于 0，这在解二次方程时起到了舍根的作用。
• 计算技巧： 在化简切线方程时，保留 $\sqrt{x_0}$ 项通常比直接代入 $x_0$ 展开更清晰。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果曲线换成抛物线 $y=x^2$ 或指数函数 $y=e^x$，解题思路完全一致。此类“双切线”问题是高考小题中的高频考点，核心就在于用同一个切线方程满足两个不同的几何约束。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2009-福建卷文-15 填-导数切线存在
• 2014-大纲卷理-15 填-切线
• 2014-广东卷文-11 填-导数切线