2020-全国卷III理-13 填-线性规划

本题导读

本题考查简单线性规划，以及二元一次不等式组表示的平面区域。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷III(理)）13. 若 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x+y\ge 0\\ 2x-y\ge 0\\ x\le 1\end{array}$，则 $z=3x+2y$ 的最大值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 画出可行域：

• 直线 $x+y=0$：过原点，取右上半平面。

• 直线 $2x-y=0$：过原点，斜率为 2，取右下半平面。

• 直线 $x=1$：垂直于 $x$ 轴，取左侧区域。 这三个边界围成一个以原点为顶点的三角形区域。

2. 分析目标函数： 将 $z=3x+2y$ 变形为斜截式：$y=-\frac{3}{2}x+\frac{z}{2}$。

• 斜率为 $-\frac{3}{2}$ 的直线。
• $z$ 的最大值对应于直线在 $y$ 轴上的截距 $\frac{z}{2}$ 最大。

3. 寻找最优解点： 观察可行域，当直线向右上方平移时，最后一个离开可行域的顶点即为最优解点。显然是直线 $x=1$ 与 $2x-y=0$ 的交点。

✅【答案】

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7

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 7

【解析过程】

1. 求交点坐标： 联立边界方程： $\{\begin{array}{l}x=1\\ 2x-y=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}$ 记最优解点为 $A(1,2)$。

注：另一个交点为 $x=1$ 与 $x+y=0$ 的交点 $(1,-1)$，以及原点 $(0,0)$。

2. 代入计算最值： 将 $A(1,2)$ 代入目标函数： $z_{\max }=3\times 1+2\times 2=3+4=7$。

故答案为：7。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 数形结合： 线性规划必须在脑中或草稿纸上有大致的图像，确定可行域是封闭的还是开放的。
• 系数判定技巧： * 若 $y$ 前系数为正，向上平移 $z$ 增大。
  • 若 $y$ 前系数为负，向上平移 $z$ 减小。
• 快捷法（顶点法）： 对于线性规划的封闭多边形区域，最值一定在顶点处取得。算出三个顶点 $(0,0),(1,-1),(1,2)$ 分别代入 $z$，直接比大小也是一种稳妥方案。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果目标函数变为 $z=x^2+y^2$，则几何意义变为“可行域内的点到原点距离的平方”，最大值依然在顶点 $(1,2)$ 处取得，结果为 5。线性规划是运筹学的入门基础，掌握“边界搜寻”的思想对后续学习非常有用。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2016-北京卷理-02
• 天津卷理-02 单-线性规划
• 2018-上海卷-06 填-线性规划