2020-全国卷III理-14 填-组合数公式

本题导读

本题考查二项式定理展开通项公式

📌【题干】

Question

（2020年全国卷III(理)）14. $(x^2+\frac{2}{x}{)}^6$ 的展开式中常数项是$\underline{}$.（用数字作答）。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出通项公式： 利用二项展开式的通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$，其中 $n=6,a=x^2,b=\frac{2}{x}$。

2. 整理 $x$ 的幂次： 将通项中的系数与自变量 $x$ 分离，通过指数运算法则 $(x^m{)}^n=x^{mn}$ 和 $x^m\cdot x^n=x^{m+n}$，将 $x$ 的指数表示为关于 $r$ 的线性函数。

3. 锁定常数项： 常数项意味着 $x$ 的指数为 0。令指数等于 0 解出 $r$（注意 $r$ 必须是 $0\le r\le 6$ 的整数）。

4. 计算最终结果： 将解得的 $r$ 代入系数部分，计算组合数与常数的乘积。

✅【答案】

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240

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 240

【解析过程】

1. 写出通项： $(x^2+\frac{2}{x}{)}^6$ 的展开式通项为： $T_{r+1}=C_6^r\cdot (x^2{)}^{6-r}\cdot (\frac{2}{x}{)}^r$

2. 化简通项： $T_{r+1}=C_6^r\cdot x^{12-2r}\cdot 2^r\cdot x^{-r}$ $T_{r+1}=C_6^r\cdot 2^r\cdot x^{12-3r}$

3. 令指数为 0： 要求常数项，则 $12-3r=0$，解得 $r=4$。 由于 $r=4$ 是 $[0,6]$ 之间的整数，符合题意。

4. 计算系数值： 当 $r=4$ 时，常数项为： $T_5=C_6^4\cdot 2^4=C_6^2\cdot 16$ 因为 $C_6^2=\frac{6\times 5}{2\times 1}=15$， 所以常数项 $=15\times 16=240$。

故答案为：240。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 通项公式记忆： 牢记 $T_{r+1}$ 对应的是第 $r+1$ 项。
• 指数运算细节： 注意 $\frac{2}{x}$ 的 $r$ 次方中，常数 2 也要参与次方运算。很多同学容易漏掉 $2^r$ 或者误记为 $2$。
• 组合数性质： 利用 $C_n^r=C_n^{n-r}$ 可以简化计算，如 $C_6^4=C_6^2$。
• 计算检查： $15\times 16$ 可以看作 $15\times (15+1)=225+15=240$，提高口算速度。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果题目求的是 “展开式中 $x^3$ 的系数”，则令 $12-3r=3⟹3r=9⟹r=3$。 代入系数部分得 $C_6^3\cdot 2^3=20\times 8=160$。 掌握了通项公式法，这类“二项式指定项”问题都可以迎刃而解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 1984-全国卷理-09
• 1986-全国理-15 填-二项式的常数项
• 2003-广东卷-14