2020-北京卷-04 单-几何体表面积

本题导读

本题考查三视图，以及正三棱柱的结构特征。

📌【题干】

Question

（2020年北京卷）4. 某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）

A. $6+\sqrt{3}$　　　　　B. $6+2\sqrt{3}$　　　　　C. $12+\sqrt{3}$　　　　　D. $12+2\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 几何体还原：

• 俯视图显示为一个边长为 2 的等边三角形，说明该三棱柱的底面是边长 $a=2$ 的正三角形。

• 正视图为一个边长为 2 的正方形，说明三棱柱的高 $h=2$。

• 综合判断：这是一个底面边长为 2，高也为 2 的正三棱柱。

2. 表面积组成：

正三棱柱的表面积 $S=S_{\text{侧}}+2S_{\text{底}}$。

• 侧面积由 3 个相同的矩形（正方形）组成。

• 底面积为 2 个等边三角形。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D

【解析过程】

由三视图可知，该几何体是一个正三棱柱。

底面正三角形的边长 $a=2$，棱柱的高 $h=2$。

1. 计算底面积：

单个底面（等边三角形）的面积为：

$S_{\text{底}}=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 2^2=\sqrt{3}$

上下两个底面的总面积为 $2\sqrt{3}$。

2. 计算侧面积：

侧面由 3 个边长为 2 的正方形组成：

$S_{\text{侧}}=3\times (2\times 2)=12$

3. 计算总表面积：

$S_{\text{全}}=S_{\text{侧}}+2S_{\text{底}}=12+2\sqrt{3}$

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 三视图投影规律： 牢记“长对正、高平齐、宽相等”。在本题中，正视图的横向长度对应底面的边长，纵向高度对应棱柱的高。

• 等边三角形面积公式： 熟记 $S=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$ 可以显著提升运算速度。

• 表面积漏项问题： 很多考生容易漏掉一个底面或侧面，计算时建议养成“侧面 + 2 × 底面”的检查习惯。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 确定大类： 若俯视图是多边形，正、侧视图是矩形，则通常是柱体；若是三角形，则通常是锥体。

2. 数据对应： - 正视图：反映长（$x$轴）和高（$z$轴）。

• 侧视图：反映宽（$y$轴）和高（$z$轴）。

• 俯视图：反映长（$x$轴）和宽（$y$轴）。

3. 常见模型： 北京卷中常见的三视图模型包括：长方体中截去的特殊棱锥、圆柱与圆锥的组合体等。在处理组合体表面积时，务必减去重叠部分的面积。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2011-辽宁卷文-08 单-正三棱柱左视图面积

• 2004-全国卷II理-16 填-空间线面垂直

• 2005-江西卷理-15 填-空间几何体的