2020-北京卷-06 单-图解法解不等式

本题导读

本题考查指数函数的图像与性质，以及一次函数的图像。

📌【题干】

Question

（2020年北京卷）6. 已知函数 $f(x)=2^x-x-1$，则不等式 $f(x)>0$ 的解集是（ ）

A. $(-1,1)$　B. $(-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )$　C. $(0,1)$　D. $(-\infty ,0)\cup (1,+\infty )$

🔍【思路分析】

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1. 转化不等式：

不等式 $f(x)>0$ 等价于 $2^x-x-1>0$，即：

$2^x>x+1$

2. 构造函数并寻找特殊点：

分别观察 $y_1=2^x$（指数函数）和 $y_2=x+1$（一次函数）的特征：

• 当 $x=0$ 时，$y_1=2^0=1$，$y_2=0+1=1$。两图像在 $(0,1)$ 处相交。

• 当 $x=1$ 时，$y_1=2^1=2$，$y_2=1+1=2$。两图像在 $(1,2)$ 处相交。

3. 图像位置判断：

• 在 $(0,1)$ 之间，一次函数 $y=x+1$ 位于指数函数 $y=2^x$ 的上方。

• 在 $(-\infty ,0)$ 和 $(1,+\infty )$ 范围内，指数函数 $y=2^x$ 位于一次函数的上方。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D

【解析过程】

将不等式变形为 $2^x>x+1$。

在直角坐标系中画出 $y=2^x$ 和 $y=x+1$ 的图像：

1. 找交点： 易观察到当 $x=0$ 或 $x=1$ 时，$2^x=x+1$ 成立。

2. 看趋势：

• 指数函数 $y=2^x$ 是下凸函数（凹函数），一次函数 $y=x+1$ 是直线。

• 直线作为割线穿过下凸曲线，在两交点之间，直线高于曲线；在两交点之外，曲线高于直线。

3. 结论： 满足 $2^x>x+1$ 的区域为 $x<0$ 或 $x>1$。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 数形结合： 这是北京卷非常强调的核心素养。当方程包含指数和多项式时，不要尝试硬解，要立刻想到画图。

• 凹凸性直觉： 记住常用函数的开口方向。$y=2^x$ 向上弯曲得比直线快，因此在远端（正负无穷）它一定在直线上方。

• 特殊值验证： 如果考场上画图不准，可以代入特殊值：

• 代入 $x=0.5$：$2^{0.5}=\sqrt{2}\approx 1.414$，$x+1=1.5$。由于 $1.414<1.5$，说明 $(0,1)$ 内部不符合条件，排除 A、C。

• 代回原式看 $x=-1$：$f(-1)=2^{-1}-(-1)-1=0.5>0$。说明 $-1$ 在解集内，排除 B。

📖【试题探源与推广】

Tip

对于学过导数的同学，可以进一步分析：

1. 求导：$f^{\prime }(x)=2^x\ln 2-1$。

2. 令 $f^{\prime }(x)=0⟹2^x=\frac{1}{\ln 2}$。由于 $\ln 2\approx 0.69$，则 $2^x\approx 1.44$，极值点在 $x\in (0,1)$。

3. $f(x)$ 先减后增，且已知 $f(0)=0$ 和 $f(1)=0$。

4. 这完美解释了为什么函数在 $(0,1)$ 内为负，在外部为正。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷理-03 单-指数函数图象

• 1996-全国卷理-02

• 2005-山东卷理-15 填-简单的线性规划问题