2020-北京卷-13 填-向量数量积

本题导读

本题考查平面向量的线性运算。核心在于坐标建系法、几何分析法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年北京卷）13. 已知正方形 $ABCD$ 的边长为 2，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$，则 $|\overrightarrow{PD}|=\underline{}$；$\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{PD}=\underline{}$。

🔍【思路分析】

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1. 确定点 $P$ 的位置：

• 几何法： $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ 遵循平行四边形法则。由于 $\overrightarrow{AC}$ 是对角线，而 $\overrightarrow{AB}$ 是边，直接构造并不直观。
• 坐标法（推荐）： 以 $A$ 为原点，建立直角坐标系。正方形各点坐标极其规整，非常适合代数化。

2. 建立坐标系： 设 $A(0,0),B(2,0),D(0,2)$，则 $C(2,2)$。 利用 $\overrightarrow{AP}$ 的定义式算出点 $P$ 的坐标。

3. 计算向量与结果：

• 求出 $\overrightarrow{PD}$ 和 $\overrightarrow{PB}$ 的坐标。
• 套用模长公式 $|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$。
• 套用数量积公式 $\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$。

✅【答案】

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$\sqrt{5}$ ； $-1$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $\sqrt{5}$ ； $-1$

【解析过程】

以点 $A$ 为原点，$AB,AD$ 所在直线分别为 $x,y$ 轴建立平面直角坐标系。 则各顶点坐标为： $A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2)$。 则 $\overrightarrow{AB}=(2,0)$，$\overrightarrow{AC}=(2,2)$。 由已知条件： $\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{2}[(2,0)+(2,2)]=\frac{1}{2}(4,2)=(2,1)$ 故点 $P$ 的坐标为 $(2,1)$。

1. 计算 $|\overrightarrow{PD}|$： $\overrightarrow{PD}=(0-2,2-1)=(-2,1)$。 $|\overrightarrow{PD}|=\sqrt{(-2{)}^2+1^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$

2. 计算 $\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{PD}$： $\overrightarrow{PB}=(2-2,0-1)=(0,-1)$。 $\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{PD}=0\times (-2)+(-1)\times 1=0-1=-1$

故答案为：$\sqrt{5}$ ； $-1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 建系的优越性： 只要图形中存在互相垂直的直线，首选坐标法。它可以避开复杂的几何证明和夹角计算。
• 向量减法的顺序： 注意 $\overrightarrow{PD}=\vec{D}-\vec{P}$（终点坐标减起点坐标），不要写反。
• 几何意义补充： 观察 $\overrightarrow{AP}=(2,1)$ 可知，点 $P$ 正好是边 $BC$ 的中点。在考场上如果能直接看出这一点，计算会更快。

📖【试题探源与推广】

Tip

如果不建系，也可以使用基底法： 设 $\overrightarrow{AB}=\vec{a},\overrightarrow{AD}=\vec{b}$，则 $|\vec{a}|=|\vec{b}|=2,\vec{a}\cdot \vec{b}=0$。

1. $\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{a}+\vec{b})=\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}$。
2. $\overrightarrow{PD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AP}=\vec{b}-(\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b})=-\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}$。
3. $|\overrightarrow{PD}{|}^2=(-\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}{)}^2={\vec{a}}^2+\frac{1}{4}{\vec{b}}^2-\vec{a}\cdot \vec{b}=4+1-0=5⟹|\overrightarrow{PD}|=\sqrt{5}$。
4. $\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AP}=\vec{a}-(\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b})=-\frac{1}{2}\vec{b}$。
5. $\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{PD}=(-\frac{1}{2}\vec{b})\cdot (-\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b})=\frac{1}{2}\vec{b}\cdot \vec{a}-\frac{1}{4}{\vec{b}}^2=0-1=-1$。 两种方法互为验证，基底法在处理不规则图形时更为通用。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷文-02 单-平面向量
• 2008-江西卷文-16 填-正六边形向量数量积
• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算