2020-北京卷-21 解-数学归纳法

本题导读

本题考查数列的新定义性质。核心在于性质验证法、构造证明法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年北京卷）已知 $\{a_n\}$ 是无穷数列。给出两个性质：

① 对于 $\{a_n\}$ 中任意两项 $a_i,a_j(i>j)$，在 $\{a_n\}$ 中都存在一项 $a_m$，使 $\frac{a_i^2}{a_j}=a_m$；

② 对于 $\{a_n\}$ 中任意项 $a_n(n\ge 3)$，在 $\{a_n\}$ 中都存在两项 $a_k,a_l(k>l)$，使得 $a_n=\frac{a_k^2}{a_l}$。

（Ⅰ）若 $a_n=n(n=1,2,\dots )$，判断数列 $\{a_n\}$ 是否满足性质①，并说明理由；

（Ⅱ）若 $a_n=2^{n-1}(n=1,2,\dots )$，判断数列 $\{a_n\}$ 是否同时满足性质①和性质②，并说明理由；

（Ⅲ）若 $\{a_n\}$ 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：$\{a_n\}$ 为等比数列。

🔍【思路分析】

破题导航

（Ⅰ）直接验证： 取 $a_3=3,a_2=2$，计算 $\frac{a_3^2}{a_2}=\frac{9}{2}$。由于 $4.5$ 不在正整数数列 $\{n\}$ 中，性质①失效。

（Ⅱ）幂运算性质： 利用指数幂的运算法则：$\frac{(2^{i-1}{)}^2}{2^{j-1}}=2^{2i-2-j+1}=2^{2i-j-1}$。只需判断指数 $2i-j$ 是否为正整数且满足下标要求。

（Ⅲ）核心证明逻辑：

1. 项的符号： 首先证明所有项同号（利用反证法排除异号情况）。
2. 确定公比： 利用性质②分析 $a_3$。因为 $a_3$ 必须由 $a_k^2/a_l(k>l)$ 表示，而 $a_3$ 是前三项中最大的，推导出只能是 $a_3=a_2^2/a_1$。这确立了前三项成等比。
3. 归纳递推： 假设前 $k$ 项成等比，证明第 $k+1$ 项也必须遵循该公比。利用性质①说明比值必存在，利用性质②排除比值是其他项的可能性。

✅【答案】

点击查看答案

存在 $a_m=2^{m-1}=\frac{a_i^2}{a_j}$，满足性质①

✍【详细解析】

Abstract

结论： 数列 $a_n=n$ 不满足性质①。 理由： 取 $i=3,j=2$，则 $a_i=3,a_j=2$。 计算 $\frac{a_i^2}{a_j}=\frac{3^2}{2}=\frac{9}{2}=4.5$。 因为 $4.5\notin \{a_n\mid n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\}$，所以在数列中不存在一项 $a_m$ 等于 $4.5$。 故不满足性质①。

结论： 数列 $a_n=2^{n-1}$ 同时满足性质①和性质②。 理由：

1. 验证性质①： 任意 $i>j$，$\frac{a_i^2}{a_j}=\frac{(2^{i-1}{)}^2}{2^{j-1}}=2^{2i-j-1}$。 令 $m=2i-j$。因为 $i>j\ge 1$，所以 $m=i+(i-j)>i\ge 2$，即 $m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$。 故存在 $a_m=2^{m-1}=\frac{a_i^2}{a_j}$，满足性质①。

2. 验证性质②： 任意 $n\ge 3$，需找到 $k>l$ 使 $2^{n-1}=2^{2k-l-1}$，即 $n=2k-l$。 取 $k=n-1,l=n-2$。显然当 $n\ge 3$ 时，$k>l\ge 1$ 且 $2(n-1)-(n-2)=n$。 故存在 $k,l$ 满足条件，满足性质②。

证明：

1. 符号统一性： 易证 $a_n$ 恒正或恒负。若有正有负，由于递增，必有 $a_j<0<a_i$。此时 $\frac{a_i^2}{a_j}<0$，根据性质①，负数项需无限多且不相等，与递增矛盾。下设 $a_n>0$。

2. 锁定 $a_3$： 对 $a_3$，由性质②知存在 $k>l$ 使 $a_3=a_k^2/a_l$。 由于 $a_3=a_k\cdot \frac{a_k}{a_l}$ 且数列递增： 若 $k\ge 3$，则 $a_k\ge a_3$，要使等式成立必有 $\frac{a_k}{a_l}\le 1⟹a_k\le a_l$，与 $k>l$ 矛盾。 故 $k<3$，只能取 $k=2,l=1$。 所以 $a_3=\frac{a_2^2}{a_1}$，即 $a_1,a_2,a_3$ 成等比数列，设公比为 $q=\frac{a_2}{a_1}>1$。

3. 归纳推理： 假设前 $n$ 项成等比数列，即 $a_n=a_1{q}^{n-1}$。 考虑 $a_{n+1}$。由性质①知 $\frac{a_n^2}{a_{n-1}}=\frac{(a_1{q}^{n-1}{)}^2}{a_1{q}^{n-2}}=a_1{q}^n$ 必为数列中的某一项 $a_m$。 因为 $a_1{q}^n>a_1{q}^{n-1}=a_n$，所以 $m\ge n+1$。即 $a_{n+1}\le a_1{q}^n$。 又由性质②知 $a_{n+1}=\frac{a_k^2}{a_l}(k>l)$。 同理可证若 $k\ge n+1$ 则矛盾，故 $k\le n$。 $a_{n+1}=\frac{(a_1{q}^{k-1}{)}^2}{a_1{q}^{l-1}}=a_1{q}^{2k-l-1}$。 要使 $a_{n+1}>a_n=a_1{q}^{n-1}$，需 $2k-l-1>n-1⟹2k-l>n$。 在 $1\le l<k\le n$ 范围内，使 $2k-l$ 最大的取值为 $k=n,l=n-1$，此时 $2k-l=n+1$。 因此 $a_{n+1}$ 最小可能的取值即为 $a_1{q}^n$。 结合 $a_{n+1}\le a_1{q}^n$，必有 $a_{n+1}=a_1{q}^n$。 根据数学归纳法，数列 $\{a_n\}$ 为等比数列。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 新定义的拆解： 处理新定义题，第一步永远是代入简单的数字（如 $n=1,2,3$）去感知性质。
• 不等式的挤压： 第三问的证明精髓在于“范围锁定”。通过性质①得到 $a_{n+1}$ 的上限，通过性质②得到 $a_{n+1}$ 的下限，最终迫使它只能等于某一个特定的等比项。
• 逻辑严密性： 在压轴题中，说明 $k$ 和 $l$ 的取值范围是得分的关键，不能直接跳跃到结论。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 对数转化： 如果对性质中的等式取对数：$\log a_m=2\log a_i-\log a_j$。 设 $b_n=\log a_n$，则 $b_m=2b_i-b_j$。这变成了关于等差数列的性质考查。
2. 北京卷压轴趋势： 这种“集合+数列+逻辑推演”的组合是北京卷的高频压轴模版，建议平时多练习“存在性”与“任意性”的逻辑转化。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2022-上海卷-21 解-数列综合
• 1993-新高考理-25
• 2002-新课标理-22 解-数列的递推关系