2020-天津卷-03 单-函数图象识别

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及特殊点代入法。

📌【题干】

Question

（2020年天津卷）3. 函数 $y=\frac{4x}{x^2+1}$ 的图象大致为（ ）

🔍【思路分析】

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1. 奇偶性分析： 判断 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 的关系。若关于原点对称，排除非奇函数；若关于 y 轴对称，排除非偶函数。

2. 符号与特殊点： 观察当 $x>0$ 时，$y$ 的正负情况。选取简单的点（如 $x=1$）计算函数值，排除位置不对的图象。

3. 趋向性（极限）： 观察当 $x\to +\infty$ 时，分母次数高于分子，函数值应趋向于 0。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A

【解析过程】

1. 判断奇偶性： 设 $f(x)=\frac{4x}{x^2+1}$。 其定义域为 $\mathbb{R}$。 $f(-x)=\frac{4(-x)}{(-x{)}^2+1}=\frac{-4x}{x^2+1}=-f(x)$。 所以 $f(x)$ 为奇函数，图象关于坐标原点对称。 若选项 C、D 的图象不关于原点对称，则排除。

2. 特殊点验证： 取 $x=1$，得 $y=\frac{4\times 1}{1^2+1}=2>0$。 这说明图象在 $x=1$ 时的纵坐标应为正。 若选项 B 在 $x>0$ 时图象位于 x 轴下方，则排除。

3. 变化趋势： 当 $x$ 很大时，分母 $x^2+1$ 的增长速度远快于分子 $4x$，故图象会向 x 轴靠近（趋于 0）。

综上所述，只有 A 选项符合要求。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 识图“四部曲”：
  1. 看定义域/值域： 排除图象范围不符的。
  2. 看奇偶性/对称性： 奇函数对原点，偶函数对 y 轴。
  3. 看特殊点： 选取 $x=0,1,-1$ 或令 $y=0$ 找交点。
  4. 看趋势： 利用导数看单调性，或看 $x\to \infty$ 时的表现。

📖【试题探源与推广】

Tip

天津卷这类题目通常给出的解析式有以下几种组合：

1. 分式型： 如本题，重点考察奇偶性和零点。
2. 指对复合型： 如 $y=\frac{\ln |x|}{x}$，重点考察定义域和极值点。
3. 指数加减型： 如 $y=\frac{e^x-e^{-x}}{x^2}$。

特别提醒： 本题中的函数 $y=\frac{4x}{x^2+1}$ 实际上是均值不等式的经典模型。 因为 $x^2+1\ge 2x$ (当 $x>0$ 时)，所以 $y=\frac{4}{x+\frac{1}{x}}\le \frac{4}{2}=2$。这解释了为什么图象在第一象限有一个最大值点 $(1,2)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2003-北京卷理-11
• 1998-全国卷理-02
• 2015-北京卷文-3