2020-天津卷-12 填-直线与圆

本题导读

本题考查点到直线的距离公式，以及圆的弦长公式。

📌【题干】

Question

（2020年天津卷）12. 已知直线 $x-\sqrt{3}y+8=0$ 和圆 $x^2+y^2=r^2$ ($r>0$) 相交于 $A,B$ 两点。若 $|AB|=6$，则 $r$ 的值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 提取圆的基本信息： 圆 $x^2+y^2=r^2$ 的圆心坐标为 $O(0,0)$，半径为 $r$。

2. 计算弦心距 $d$： 利用点到直线的距离公式，计算圆心 $O(0,0)$ 到直线 $x-\sqrt{3}y+8=0$ 的距离。 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

3. 利用垂径定理： 在圆中，半径 $r$、弦心距 $d$ 与半弦长 $\frac{|AB|}{2}$ 构成直角三角形。

根据勾股定理： $r^2=d^2+{\left(\frac{|AB|}{2}\right)}^2$

✅【答案】

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5

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 5

【解析过程】

1. 计算圆心到直线的距离 $d$： 圆心为 $(0,0)$，直线为 $x-\sqrt{3}y+8=0$。 $d=\frac{|0-\sqrt{3}\cdot 0+8|}{\sqrt{1^2+(-\sqrt{3}{)}^2}}=\frac{8}{\sqrt{1+3}}=\frac{8}{2}=4$

2. 利用弦长关系求解 $r$： 已知弦长 $|AB|=6$，则半弦长 $\frac{|AB|}{2}=3$。 在直角三角形中： $r^2=d^2+3^2=4^2+3^2=16+9=25$ 因为 $r>0$，所以 $r=5$。

故答案为：5。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心几何模型： 凡是涉及圆的弦长问题，第一时间画出由 $r,d,\frac{l}{2}$ 组成的直角三角形。
• 计算细节： $\sqrt{A^2+B^2}$ 的计算要准确，本题中 $1^2+(-\sqrt{3}{)}^2=4$，开方得 $2$。
• 常见勾股数： $(3,4,5)$ 是高中数学中最常出现的数组，看到 $d=4$ 和半弦长 $3$ 时，几乎可以秒弹 $r=5$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 最值问题： 圆上的点到直线的距离的最大值 ($d+r$) 和最小值 ($d-r$)。
2. 切线问题： 若直线与圆相切，则 $d=r$。
3. 弦长分布： 结合向量（如 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}$）来考查对弦长和夹角的综合理解。

快速求解： 看到系数 $1$ 和 $\sqrt{3}$，分母必为 $2$；分子代入 $(0,0)$ 得 $8$；距离 $d=4$。半弦长 $3$。根据勾股定理 $3^2+4^2=5^2$，结果为 $5$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.04 距离公式汇总
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2013-湖南卷理-11 填-相交弦定理
• 2003-全国卷理-05
• 2003-广东卷-08