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2020-新高考I卷-03 单-组合数公式

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本题导读

本题考查分步乘法计数原理。核心在于直接分步法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年新高考I卷）3. 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆。甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）

A. 120种　　　　　B. 90种　　　　　C. 60种　　　　　D. 30种

🔍【思路分析】

破题导航

1. 任务分解（分步）： 要完成这 6 名同学的分配，可以分为三个步骤：

  • 第一步：从 6 人中选 1 人去甲场馆。
  • 第二步：从剩下的 5 人中选 2 人去乙场馆。
  • 第三步：剩下的 3 人直接去丙场馆（或理解为从 3 人中选 3 人）。

2. 确定计算模型： 因为每个场馆内的同学没有角色区分（比如不分组长组员），所以每一步都使用组合数 。

3. 应用乘法原理： 由于是分步完成任务，最后的结果应将各步的方法数相乘。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C

【解析过程】

  1. 安排甲场馆： 从 6 名同学中任选 1 名，有 种方法。
  2. 安排乙场馆： 从剩下的 5 名同学中任选 2 名，有 种方法。
  3. 安排丙场馆： 剩下的 3 名同学全部去丙场馆，有 种方法。
  4. 总计： 根据分步乘法计数原理，共有 种不同的安排方法。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

  • 核心模型： 元素分配问题。当容器（场馆）不同，且每个容器的人数固定时，直接连乘组合数即可。
  • 计算技巧： ，，。这些常用组合数建议记熟以提高速度。
  • 常见误区： 1. 顺序陷阱： 如果场馆不具名（例如仅仅是分成 1, 2, 3 三组），则需要考虑是否除以平均分组的阶乘（本题人数不等，不涉及此问题）。 2. 混淆排列组合： 场馆内部的人没有顺序，故用组合 而非排列 。

📖【试题探源与推广】

Tip

  1. 平均分组： 若将 6 人平均分成三组（每组 2 人），且不指定去向，则方法数为 。
  2. 指定去向（本题模型）： 若将 6 人平均分成三组并分派到三个不同场馆，则方法数为 （抵消了分组的重复）。
  3. 不指定人数（隔板法/分类）： 如果只说 6 人去 3 个场馆，每馆至少 1 人，则需要先对人数进行分类（1, 2, 3 或 2, 2, 2 或 1, 1, 4），再进行分配。

快速求解： 看到 1, 2, 3 的分配方案，口算 ，全程不超过 15 秒。

🔗【关联脉络】

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