2020-新高考I卷-06 单-增长率模型

本题导读

本题考查指数函数模型

📌【题干】

Question

（2020年新高考I卷）6. 基本再生数 $R_0$ 与世代间隔 $T$ 是新冠肺炎的流行病学基本参数。$R_0$ 指一个感染者传染的平均人数，$T$ 指相邻两代间传染所需的平均时间。在疫情初始阶段，可以用指数模型 $I(t)=e^{rt}$ 描述累计感染病例数 $I(t)$ 随时间 $t$（单位：天）的变化规律，指数增长率 $r$ 与 $R_0,T$ 近似满足 $R_0=1+rT$。有学者估计出 $R_0=3.28,T=6$。据此，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为（$\ln 2\approx 0.69$）（ ）

A. 1.2天　　　　　B. 1.8天　　　　　C. 2.5天　　　　　D. 3.5天

🔍【思路分析】

破题导航

1. 提取参数： 根据已知公式 $R_0=1+rT$，代入 $R_0=3.28,T=6$，求出增长率 $r$。

2. 定义“增加 1 倍”： “增加 1 倍”即变为原来的 2 倍。 设初始时刻为 $t_0$，增加 1 倍后的时刻为 $t_0+\Delta t$。 则有：$I(t_0+\Delta t)=2\cdot I(t_0)$。

3. 建立并求解方程： 代入模型 $e^{r(t_0+\Delta t)}=2\cdot e^{r{t}_0}$。 化简得 $e^{r\Delta t}=2$，通过对数运算求出 $\Delta t=\frac{\ln 2}{r}$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B

【解析过程】

1. 计算指数增长率 $r$： 由 $3.28=1+r\cdot 6$ 得： $6r=2.28⟹r=0.38$。 所以感染模型为 $I(t)=e^{0.38t}$。

2. 建立翻倍时间的方程： 设需要的时间为 $\Delta t$，则： $e^{0.38(t+\Delta t)}=2\cdot e^{0.38t}$ 两边同时除以 $e^{0.38t}$，得： $e^{0.38\Delta t}=2$

3. 求解 $\Delta t$： 两边取自然对数： $0.38\Delta t=\ln 2$ $\Delta t=\frac{\ln 2}{0.38}\approx \frac{0.69}{0.38}$ 计算结果：$69÷38\approx \mathrm{1.815...}$

故约为 1.8 天。选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 翻倍时间公式： 在指数增长模型 $N(t)=e^{rt}$ 中，翻倍时间恒等于 $\frac{\ln 2}{r}$。这是一个非常实用的结论，建议记牢。
• 信息屏蔽： 题目中关于 $R_0$ 和 $T$ 的文字定义是背景介绍，解题时只需关注它们之间的代数关系式即可，不要被专业术语干扰。
• 计算精度： 填空选择题中，步步精算会浪费时间，看到 $0.69/0.38$ 时，可以估算：$0.38\times 2=0.76$（太大），$0.38\times 1.5=0.57$（太小），所以答案在 $1.5$ 到 $2$ 之间，直接锁定 1.8。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 放射性衰变： $N(t)=N_0{e}^{-\lambda t}$，涉及“半衰期”计算。
2. 复利增长： $A=P(1+r{)}^n$，常用于金融利息计算。
3. 分贝/震级： 对数模型 $L={\log }_{10}(I/I_0)$。

快速求解： 第一步：$3.28-1=2.28$； 第二步：$2.28/6=0.38$； 第三步：$0.69/0.38\approx 1.8$。 逻辑清晰，计算量极小。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1999-全国卷理-22 解-冷轧机的数列模型
• 2002-上海卷理-21 解-指数函数的待定系数法
• 2007-大纲卷I理-08 单-对数运算性质